拓扑所属现代词，指的是设X是一个非空集合。拓扑学的英文名是Topology，直译是地志学，也就是和研究地形、地貌相类似的有关学科。几何拓扑学是十九世纪形成的一门数学分支，它属于几何学的范畴。有关拓扑学的一些内容早在十八世纪就出现了。那时候发现一些孤立的问题，后来在拓扑学的形成中占着重要的地位。

数学术语

公理

设X是一个非空集合，X的幂集的子集（即是X的某些子集组成的集族）T称为X的一个拓扑。当且仅当：

1．X和空集{}都属于T；

2．T中任意多个成员的并集仍在T中；

3．T中有限多个成员的交集仍在T中。

称集合X连同它的拓扑τ为一个拓扑空间，记作（X,T）。

称T中的成员为这个拓扑空间的开集。

定义中的三个条件称为拓扑公理。（条件（3）可以等价的换为τ中两个成员的交集仍在τ中。）

从定义上看，给出某集合的一个拓扑就是规定它的哪些子集是开集。这些规定不是任意的，必须满足三条拓扑公理。

一般说来，一个集合上可以规定许多不相同的拓扑，因此说到一个拓扑空间时，要同时指明集合及所规定的拓扑。在不引起误解的情况下，也常用集合来代指一个拓扑空间，如拓扑空间X，拓扑空间Y等。

同时，在拓扑范畴中，我们讨论连续映射。定义为：f: (X,T_1) ------> (Y,T_2) （T_1,T_2是上述定义的拓扑）是连续的当且仅当开集的原像是开集。两个拓扑空间同胚当且仅当存在双向互逆的连续映射。同时，映射同伦和空间同伦等价也是很有用的定义。

例子

1．欧几里德空间在通常开集的意义下是拓扑空间，它的拓扑就是所有开集组成的集合。

2．设X是一个非空集合。则集合t：{X,{}}是X的一个拓扑。称t为X的平凡拓扑。显然（X,t）只有两个开集，X和{}。

3．设X是一个非空集合。则X的幂集T=2^X也是X的一个拓扑。称T为X的离散拓扑。显然X的任意子集都是(X,T)的开集。

4．一个具体的例子。设X={1，2}。则{X,{},{1}}是X的一个拓扑，{X,{},{2}}也是拓扑，{X,{},{1},{2}}是拓扑（由定义可知).

由来

1.哥尼斯堡七桥问题

在数学上，关于哥尼斯堡七桥问题、多面体欧拉定理、四色问题等都是拓扑学发展史的重要问题。

哥尼斯堡（今俄罗斯加里宁格勒）是东普鲁士的首都，普莱格尔河横贯其中。十八世纪在这条河上建有七座桥，将河中间的两个岛和河岸联结起来。人们闲暇时经常在这上边散步，一天有人提出：能不能每座桥都只走一遍，最后又回到原来的位置。这个看起来很简单又很有趣的问题吸引了大家，很多人在尝试各种各样的走法，但谁也没有做到。看来要得到一个明确、理想的答案还不那么容易。

1736年，有人带着这个问题找到了当时的大数学家欧拉，欧拉经过一番思考，很快就用一种独特的方法给出了解答。欧拉把这个问题首先简化，他把两座小岛和河的两岸分别看作四个点，而把七座桥看作这四个点之间的连线。那么这个问题就简化成，能不能用一笔就把这个图形画出来。经过进一步的分析，欧拉得出结论——不可能每座桥都走一遍，最后回到原来的位置。并且给出了所有能够一笔画出来的图形所应具有的条件。这是拓扑学的“先声”。

2.多面体的欧拉定理

在拓扑学的发展历史中，还有一个着名而且重要的关于多面体的定理也和欧拉有关。这个定理内容是：如果一个凸多面体的顶点数是v、棱数是e、面数是f，那么它们总有这样的关系：f+v-e=2。

根据多面体的欧拉定理，可以得出这样一个有趣的事实：只存在五种正多面体。

它们是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。

3.四色猜想

著名的“四色问题”也是与拓扑学发展有关的问题。四色问题又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一。　四色猜想的提出来自英国。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色。”

1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。1878～1880年两年间，著名律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理。但后来数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。不久，泰勒的证明也被人们否定了。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题。

进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿次判断，终于完成了四色定理的证明。不过不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们认为应该有一种简捷明快的书面证明方法。

上面的几个例子所讲的都是一些和几何图形有关的问题，但这些问题又与传统的几何学不同，而是一些新的几何概念。这些就是“拓扑学”的先声。

定义

拓扑学的英文名是Topology，直译是地志学，也就是和研究地形、地貌相类似的有关学科。中国早期曾经翻译成“形势几何学”、“连续几何学”、“一对一的连续变换群下的几何学”，但是，这几种译名都不大好理解，1956年统一的《数学名词》把它确定为拓扑学，这是按音译过来的。

拓扑学是几何学的一个分支，但是这种几何学又和通常的平面几何、立体几何不同。通常的平面几何或立体几何研究的对象是点、线、面之间的位置关系以及它们的度量性质。拓扑学对于研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系都无关。

举例来说，在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上，如果完全重合，那么这两个图形叫做全等形。但是，在拓扑学里所研究的图形，在运动中无论它的大小或者形状都发生变化。在拓扑学里没有不能弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都可以改变。例如，前面讲的欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题的时候，他画的图形就不考虑它的大小、形状，仅考虑点和线的个数。

性质

拓扑的中心任务是研究拓扑性质中的不变性。

拓扑性质有那些呢？首先我们介绍拓扑等价，这是比较容易理解的一个拓扑性质。

在拓扑学里不讨论两个图形全等的概念，但是讨论拓扑等价的概念。比如，尽管圆和方形、三角形的形状、大小不同，在拓扑变换下，它们都是等价图形。在一个球面上任选一些点用不相交的线把它们连接起来，这样球面就被这些线分成许多块。在拓扑变换下，点、线、块的数目仍和原来的数目一样，这就是拓扑等价。一般地说，对于任意形状的闭曲面，只要不把曲面撕裂或割破，他的变换就是拓扑变换，就存在拓扑等价。

应该指出，环面不具有这个性质。设想，把环面切开，它不至于分成许多块，只是变成一个弯曲的圆桶形，对于这种情况，我们就说球面不能拓扑的变成环面。所以球面和环面在拓扑学中是不同的曲面。

直线上的点和线的结合关系、顺序关系，在拓扑变换下不变，这是拓扑性质。在拓扑学中曲线和曲面的闭合性质也是拓扑性质。

我们通常讲的平面、曲面通常有两个面，就像一张纸有两个面一样。但德国数学家莫比乌斯(1790～1868)在1858年发现了莫比乌斯曲面。这种曲面就不能用不同的颜色来涂满两个侧面。

莫比乌斯带

公元1858年，莫比乌斯发现：把一个扭转180°后再两头粘接起来的纸条具有魔术般的性质。因为，普通纸带具有两个面（即双侧曲面），一个正面，一个反面，两个面可以涂成不同的颜色；而这样的纸带只有一个面（即单侧曲面），一只小虫可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘！我们把这种由莫比乌斯发现的神奇的单面纸带，称为“莫比乌斯带”。

拿一张白的长纸条，把一面涂成黑色，然后把其中一端翻一个身，

如同右图那样粘成一个莫比乌斯带。现在像图中那样用剪刀沿纸带的中央把它剪开。你就会惊奇地发现，纸带不仅没有一分为二，反而像图中那样剪出一个两倍长的纸圈！

有趣的是：新得到的这个较长的纸圈，本身却是一个双侧曲面，它的两条边界自身虽不打结，但却相互套在一起！为了让读者直观地看到这一不太容易想象出来的事实，我们可以把上述纸圈，再一次沿中线剪开，这回可真的一分为二了！得到的是两条互相套着的纸圈，而原先的两条边界，则分别包含于两条纸圈之中，只是每条纸圈本身并不打结罢了。

比如旋转三个半圈的带子再剪开后会形成一个三叶结。剪开带子之后再进行旋转，然后重新粘贴则会变成数个Paradromic。

莫比乌斯带常被认为是无穷大符号“∞”的创意来源，因为如果某个人站在一个巨大的莫比乌斯带的表面上沿着他能看到的“路”一直走下去，他就永远不会停下来。但是这是一个不真实的传闻，因为“∞”的发明比莫比乌斯带还要早。

莫比乌斯带还有更为奇异的特性。一些在平面上无法解决的问题，却不可思议地在莫比乌斯带上获得了解决！

比如在普通空间无法实现的手套易位问题：人左右两手的手套虽然极为相像，但却有着本质的不同。我们不可能把左手的手套贴切地戴到右手上去；也不能把右手的手套贴切地戴到左手上来。无论你怎么扭来转去，左手套永远是左手套，右手套也永远是右手套！不过，倘若自你把它搬到莫比乌斯带上来，那么解决起来就易如反掌了。

在自然界有许多物体也类似于手套那样，它们本身具备完全相像的对称部分，但一个是左手系的，另一个是右手系的，它们之间有着极大的不同。

“莫比乌斯带”在生活和生产中已经有了一些用途。例如，用皮带传送的动力机械的皮带就可以做成“莫比乌斯带”状，这样皮带就不会只磨损一面了。如果把录音机的磁带做成“莫比乌斯带”状，就不存在正反两面的问题了，磁带就只有一个面了。

橡皮几何学

莫比乌斯带是一种拓扑图形，什么是拓扑呢？拓扑所研究的是几何图形的一些性质，它们在图形被弯曲、拉大、缩小或任意的变形下保持不变，只要在变形过程中不使原来不同的点重合为同一个点，又不产生新点。换句话说，这种变换的条件是：在原来图形的点与变换了图形的点之间存在着一一对应的关系，并且邻近的点还是邻近的点。这样的变换叫做拓扑变换。拓扑有一个形象说法——橡皮几何学。因为如果图形都是用橡皮做成的，就能把许多图形进行拓扑变换。例如一个橡皮圈能变形成一个圆圈或一个方圈。但是一个橡皮圈不能由拓扑变换成为一个阿拉伯数字8。因为不把圈上的两个点重合在一起，圈就不会变成8,“莫比乌斯带”正好满足了上述要求。右下角是三角形莫比乌斯带，左端绿色与右端黄色相连，扭曲的三角形莫比乌斯带可以不断循环：绿--黄---红---绿---黄---…。拓扑变换的不变性、不变量还有很多，这里不再介绍。

拓扑学

拓扑学建立后，由于其它数学学科的发展需要，它也得到了迅速的发展。特别是黎曼创立黎曼几何以后，他把拓扑学概念作为分析函数论的基础，更加促进了拓扑学的进展。

二十世纪以来，集合论被引进了拓扑学，为拓扑学开拓了新的面貌。拓扑学的研究就变成了关于任意点集的对应的概念。拓扑学中一些需要精确化描述的问题都可以应用集合来论述。

因为大量自然现象具有连续性，所以拓扑学具有广泛联系各种实际事物的可能性。通过拓扑学的研究，可以阐明空间的集合结构，从而掌握空间之间的函数关系。二十世纪三十年代以后，数学家对拓扑学的研究更加深入，提出了许多全新的概念。比如，一致性结构概念、抽象距概念和近似空间概念等等。有一门数学分支叫做微分几何，是用微分工具来研究曲线、曲面等在一点附近的弯曲情况，而拓扑学是研究曲面的全局联系的情况，因此，这两门学科应该存在某种本质的联系。1945年，美籍中国数学家陈省身建立了代数拓扑和微分几何的联系，并推进了整体几何学的发展。

拓扑学发展到今天，在理论上已经十分明显分成了两个分支。一个分支是偏重于用分析的方法来研究的，叫做点集拓扑学，或者叫做分析拓扑学。另一个分支是偏重于用代数方法来研究的，叫做代数拓扑。现在，这两个分支又有统一的趋势。

拓扑学在泛函分析、李群论、微分几何、微分方程和其他许多数学分支中都有广泛的应用。

美术术语

以3DSMAX软件为例。创建对象和图形后，将会为每个顶点和/或面指定一个编号。通常，这些编号是内部使用的，它们可以确定指定时间选择的顶点或面。这种数值型的结构称作拓朴。

选择顶点或面，并对选择对象应用修改器之后，该修改器堆栈将会记录它影响的面/顶点。如果稍后返回到堆栈选择层级，可以将该拓朴更改为应用该修改器。

术语拓朴参考了面和顶点的结构及其编号。

例如，通过仔细设置各种参数，可以使方框和圆柱体具有相同的顶点数。此后，您可能会认为，您可以使用该方框作为圆柱体的变形目标。但是，因为这两个对象是使用大相径庭的方法创建的，所以，这些对象顶点编号的顺序将大不一样。如果进行变形，会使每个带有编号的顶点转至变形目标上相应的位置。在这种情况下，即存在两个拓朴结构大相径庭的对象，如果从一个对象变形为另一个对象，会使该对象在变形时弯曲或内部外翻。

拓朴相关修改器可以对具有拓朴结构的显式子对象执行选择操作。对显式顶点或面数执行操作或选择的修改器包括“编辑网格”和“网格选择”修改器。当堆栈中包含这些修改器时，如果访问以前的堆栈操作，并更改向其传递的拓朴（面和顶点的数目和顺序），可能会对结果产生负面影响。如果这样做的话，拓朴相关警告会提示您注意这种情况。

简单的说，所谓拓扑就是在原始基础上进行模型的重新绘制，产生非常高效的模型。让模型细节足够而且面数非常少。有助于我们未来进行高级动画的制作。不至于ZBrush产生的高精度模型不能用。

注：拓扑也称拓朴

网络术语

释义

计算机网络的拓扑结构是引用拓扑学中研究与大小，形状无关的点、线关系的方法。把网络中的计算机和通信设备抽象为一个点，把传输介质抽象为一条线，由点和线组成的几何图形就是计算机网络的拓扑结构。网络的拓扑结构反映出网中各实体的结构关系，是建设计算机网络的第一步，是实现各种网络协议的基础，它对网络的性能，系统的可靠性与通信费用都有重大影响。指连接各结点的形式与方法。

把网络中的工作站和服务器等网络单元抽象为“点”。网络中的电缆等抽象为“线”。影响网络性能、系统可靠性、通信费用。

分类

1.总线拓扑

总线拓扑结构是将网络中的所有设备通过相应的硬件接口直接连接到公共总线上，结点之间按广播方式通信，一个结点发出的信息，总线上的其它结点均可“收听”到。优点：结构简单、布线容易、可靠性较高，易于扩充，是局域网常采用的拓扑结构。缺点：所有的数据都需经过总线传送，总线成为整个网络的瓶颈；出现故障诊断较为困难。最著名的总线拓扑结构是以太网（Ethernet）。

2.星型拓扑

每个结点都由一条单独的通信线路与中心结点连结。优点：结构简单、容易实现、便于管理，连接点的故障容易监测和排除。缺点：中心结点是全网络的可靠瓶颈，中心结点出现故障会导致网络的瘫痪。

3.环形拓扑

各结点通过通信线路组成闭合回路，环中数据只能单向传输。优点：结构简单、容易实现，适合使用光纤，传输距离远，传输延迟确定。缺点：环网中的每个结点均成为网络可靠性的瓶颈，任意结点出现故障都会造成网络瘫痪，另外故障诊断也较困难。最著名的环形拓扑结构网络是令牌环网（Token Ring）

4.树型拓扑

是一种层次结构，结点按层次连结，信息交换主要在上下结点之间进行，相邻结点或同层结点之间一般不进行数据交换。优点：连结简单，维护方便，适用于汇集信息的应用要求。缺点：资源共享能力较低，可靠性不高，任何一个工作站或链路的故障都会影响整个网络的运行。

5.网状拓扑

又称作无规则结构，结点之间的联结是任意的，没有规律。优点：系统可靠性高，比较容易扩展，但是结构复杂，每一结点都与多点进行连结，因此必须采用路由算法和流量控制方法。目前广域网基本上采用网状拓扑结构。