设数列Xn，如果存在常数a，对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时，恒有|Xn-a|Xn收敛于a（极限为a），即数列Xn为收敛数列（Convergent Sequences）。

数列收敛<=>数列存在唯一极限。

性质

唯一性

如果数列Xn收敛，每个收敛的数列只有一个极限。

有界性

定义：设有数列Xn , 若存在M>0,使得一切自然数n,恒有|Xn|

定理1：如果数列{Xn}收敛，那么该数列必定有界。推论：无界数列必定发散；数列有界

，不一定收敛；数列发散不一定无界。

数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件

保号性

如果数列{Xn}收敛于a，且a>0（或a<0），那么存在正整数N，当n>N时，都有Xn>0（或Xn<0）。

相互关系

收敛数列与其子数列间的关系

子数列也是收敛数列且极限为a恒有|Xn|

若已知一个子数列发散，或有两个子数列收敛于不同的极限值，可断定原数列是发散的。

如果数列{ }收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a。