d(n 1(n ε(n

定义

　　在非数论的领域，积性函数指所有对于任何a,b都有性质f(ab)=f(a)f(b)的函数。

　　在数论中的积性函数：对于正整数n的一个算术函数 f(n)，若f(1)=1，且当a,b互质时f(ab)=f(a)f(b)，在数论上就称它为积性函数。若对于某积性函数 f(n) ，就算a, b不互质，也有f(ab)=f(a)f(b)，则称它为完全积性的。

积性函数举例

　　φ(n) －欧拉函数，计算与n互质的正整数之数目

　　μ(n) －莫比乌斯函数，关于非平方数的质因子数目

　　gcd(n,k) －最大公因子，当k固定的情况

　　d(n) －n的正因子数目

　　σ(n) －n的所有正因子之和

　　σk(n) － 因子函数，n的所有正因子的k次幂之和，当中k可为任何复数。

　　1(n) －不变的函数，定义为 1(n) = 1 （完全积性）

　　Id(n) －单位函数，定义为 Id(n) = n（完全积性）

　　Idk(n) －幂函数，对于任何复数、实数k，定义为Idk(n) = n^k （完全积性）

　　ε(n) －定义为：若n = 1，ε(n)=1；若 n > 1，ε(n)=0。别称为“对于狄利克雷卷积的乘法单位”（完全积性）

　　λ(n) －刘维尔函数，关于能整除n的质因子的数目

　　γ(n)，定义为γ(n)=(-1)^ω(n)，在此加性函数ω(n)是不同能整除n的质数的数目

　　另外，所有狄利克雷特征均是完全积性的

非积性函数举例

　　冯·曼戈尔特函数：当n是质数p的整数幂，Λ(n)=ln(p)，否则Λ(n)=0

　　不大于正整数n的质数的数目π(n)

　　整数拆分的数目P(n)：一个整数能表示成正整数之和的方法的数目

积性函数的性质

性质一

　　积性函数的值完全由质数的幂决定，这和算术基本定理有关。

　　即是说，若将n表示成质因子分解式

　　则有

性质二

　　若f为积性函数且有

　　则f为完全积性函数。