只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 一元二次方程有5种解法，即直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法、图像法。 公式法不能解没有实数根的方程（也就是b2-4ac

方程形式

一般式

一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如ax+bx+c=0 (a≠0,且a,b,c是常数)的形式。这种形式叫一元二次方程的一般形式。一次项系数b和常数项c可取任意实数，而二次项系数a必须是不等于0的实数。要先确定二次项系数，再确定一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式。

变形式

（a、b是实数，a≠0）;

（a、c是实数，a≠0）;

（a是实数，a≠0）.

注：a≠0这个条件十分重要.

配方式

两根式

求解方法

开平方法

形如x=p或(nx+m)=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平方法解一元二次方程。

如果方程化成 的形式，那么可得 。

如果方程能化成 (p≥0)的形式，那么 ，进而得出方程的根。

注意：

①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数。

②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。

③方法是根据平方根的意义开平方。

配方法

步骤

将一元二次方程配成(x+m)=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法。

用配方法解一元二次方程的步骤：

①把原方程化为一般形式；

②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；

③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；

⑤如果右边是非负数，即可进一步通过直接开平方法求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解。

配方法的理论依据是完全平方公式a2+b2±2ab=（a±b）2

配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。

举例

例一：用配方法解方程 3x－4x-2=0

解：将常数项移到方程右边 3x-4x=2

将二次项系数化为1：

方程两边都加上一次项系数一半的平方：

配方：

直接开平方得：

∴ , .

∴原方程的解为 , .

求根公式法

步骤

用求根公式解一元二次方程的方法叫做求根公式法。

用求根公式法解一元二次方程的一般步骤为：

①把方程化成一般形式 ，确定a，b，c的值（注意符号）；

②求出判别式 的值，判断根的情况；

③在 （注：此处△读“德塔”）的前提下，把a、b、c的值代入公式 进行计算，求出方程的根。

推导过程

一元二次方程的求根公式导出过程如下：

（为了配方，两边各加 ）

（化简得）。

一元二次方程的求根公式在方程的系数为有理数、实数、复数或是任意数域中适用。

一元二次方程中的判别式:根号下b2－4ac

应该理解为“如果存在的话，两个自乘后为的数当中任何一个”。在某些数域中，有些数值没有平方根。

推导过程2

一元二次方程的求根公式导出过程如下：

a的取值范围任意，c取值范围任意，b=(a+1)√c。从a b c 的取值来看可出1亿道方程以上，与因式分解相符合。

运用韦达定律验证：

因式分解法

因式分解法即利用因式分解求出方程的解的方法。

因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题（数学化归思想）。

因式分解法解一元二次方程的一般步骤：

①移项，使方程的右边化为零；

②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；

③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；

④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解。

图像解法

一元二次方程 的根的几何意义是二次函数 的图像（为一条抛物线）与x轴交点的X坐标。当 时，则该函数与x轴相交（有两个交点）；当 时，则该函数与x轴相切（有且仅有一个交点）；当 时则该函数与x轴相离（没有交点）。

另外一种解法是把一元二次方程 化为：

的形式。

则方程的根，就是函数 和 交点的X坐标。

通过作图，可以得到一元二次方程根的近似值。

计算机法

在使用计算机解一元二次方程时，和人手工计算类似，大部分情况下也是根据下面的公式去解

可以进行符号运算的程序，比如软件Mathematica，可以给出根的解析表达式，而大部分程序则只会给出数值解（但亦有部分显示平方根及虚数）。

根与系数的关系

韦达定理

一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)中，设两个根为x1和x2，则：

x1+x2=-b/a

x1x2=c/a

证明

设x1，x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0的两个解，则有：

a(x-x1)(x-x2)=0

∴ax^2-a(x1+x2)x+ax1x2=0

通过对比系数可得：-a(x1+x2)=b ax1x2=c

∴x1+x2=-b/a x1x2=c/a

计算机解一元二次方程

VB实现方法：

该代码仅可实现一般形式的求值，并以对话框形式显示。

dim a,b,c,i

在这里添加a、b、c的赋值过程。

例如：

a=text1.text

b=text2.text

c=text3.text

if a*2 <> 0 then

i=((0-b)+Sqr(b^2-4*a*c))/2

msgbox i

i=((0-b)-Sqr(b^2-4*a*c))/2

msgbox i

else

msgbox("2a为零")

end if