三段论推理是演绎推理中的一种简单推理判断。它包含：一个一般性的原则（大前提），一个附属于前面大前提的特殊化陈述（小前提），以及由此引申出的特殊化陈述符合一般性原则的结论。下文将会进行详细的介绍。上面的三段论推理，“偶蹄目动物”是连接大小前提的中项；“脊椎动物”是出现在大前提中又在结论中做谓项的“大项”；“牛”是出现在小前提中又在结论中做主项的“小项”。 习惯上,用“P”表示“大项”，用“M”表示“中项”，用“S”表示“小项”。

举例

所有的偶蹄目动物都是脊椎动物，牛是偶蹄目动物；所以牛是脊椎动物。

上面的三段论推理，“偶蹄目动物”是连接大小前提的中项；“脊椎动物”是出现在大前提中又在结论中做谓项的“大项”；“牛”是出现在小前提中又在结论中做主项的“小项”。 习惯上,用“P”表示“大项”，用“M”表示“中项”，用“S”表示“小项”。

省略式

从思维过程来看，任何三段论都必须具有大、小前提和结论，缺少任何一部分就无法构成三段论推理。但在具体的语言表述中，无论是说话还是写文章，常常把三段论中的某些部分省去不说。省去不说的部分或是大前提，或是小前提，或是结论。

(1)省略大前提

①你是经济学院的学生，你应当学好经济理论。

②改革是新事物，当然免不了要遇到前进中的困难。

例①省略了大前提“凡是经济学院的学生都应该学好经济理论”。例②省略了大前提：“凡是新事物都免不了遇到前进中的困难”。

(2)省略小前提

①企业都应该提高经济效益，国营企业也不例外。

②这部连续剧不是优秀作品，因为优秀作品是思想性与艺术性相结合的作品。

例①省略了小前提“国营企业也是企业”。恢复其完整式是：“企业都应该提高经济效益, 国营企业也是企业,所以,国营企业应该提高经济效益”。例②省略的小前提是“这部连续剧不是思想性与艺术性相结合的作品”。恢复其完整式是“优秀作品都是思想性与艺术性相结合的作品，这部连续剧不是思想性与艺术性相结合的作品，所以这部连续剧不是优秀作品”。

(3)省略了结论

①业余办学形式是群众所欢迎的，函授教育就是一种业余办学形式。

②所有的人都免不了犯错误，你也是人嘛。

例①省略的结论是“函授教育形式是群众所欢迎的”。例②省略的结论是“你也免不了犯错误”。

公理

公理的古典涵义要求公理具有明显的直观真理性，能够不证自明，公理内部前后要有一致性。公理的现代涵义不要求公理具有明显的直观真理性，也不要求公理能够不证自明，它要求内部有严密的一致性，无矛盾性。

三段论公理是：如果一类对象的全部都是什么，那么，它的小类，即部分对象也必然是什么；如果一类对象的全部都不是什么，那么，它的小类，即部分对象也必然不是什么。这就是说，如果对某类对象的全部都有所断定，那么，对它的部分对象也就有所断定。

相关概念

三段论的格

按照大项、小项、中项在三段论中不同的位置分布，三段论可分为以下四个格：

可以看出，在这四个格中，结论中主项和谓项的位置是固定的。这些格的主要区别是前提中中项的位置不同。

三段论的式

同一格的三段论也有一定的差异，即它们的前提和结论中所涉及的直言命题的量词（全称、特称）和质（肯定、否定）是不同的，也就是说它们的“式”是不同的。

例如：

1：所有的偶蹄目动物都是脊椎动物，牛是偶蹄目动物；所以牛都是脊椎动物。（第一格AAA式）

2：所有的偶蹄目动物都不是昆虫，牛是偶蹄目动物；所以牛都不是昆虫。（第一格EAE式）

3：所有商品都是用来交换的，所有封建地租都不是用来交换的；所以所有封建地租都不是商品。（第二格AEE式）

4：鸵鸟不会飞，鸵鸟是鸟；所以一些鸟不会飞。（第三格EAO式）

5：有些不会飞的动物是鸵鸟，鸵鸟是鸟；所以有的鸟是不会飞的动物。（第四格IAI式）

三段论的可能式和有效式：

在三段论的每格中，A、E、I、O四种判断都可以分别作为大、小前提和结论，其组合数目是：4X4X4=64。因此，就其可能性而言，每格有64个式。三段论共有四个格，因此，三段论的可能式共有64X4=256个。

三段论的可能式并非都是有效的。事实上，三段讼可能式中的大部分是无效的。

对于三段论的所有可能式，都可以依据一般规则或各格的具体规则，判定它是否有效。经过筛选，三段论所有的可能式中，共有如下24个有效式：

一个三段论是有效的，当且仅当它是这个24个式中的一个。据此，可以难验证一个三段论是否正确。

上述24个有效式中，有5个带括号，称为弱式。所谓弱式，是指本来可以得出全称的结论，但却只得出了特称的结论。可以不把弱式看成是独立的有效式。

这样，如果不算5个弱式，三段论共有19个有效式。

三段论的各有效式，不必要一个个地熟记。判定三段论是否有效，依据三段论的一般规则及各格的具体规则就可以了。

三段论的省略式

三段论包括大前提、小前提、结论三个部分。从逻辑结构上说，这三部分缺一不可。但是，三段论在日常语言的表达中，能常省略其中的某个部分。

在日常语言的表达中省略了大前提或者小前提或者结论的三段论，称为三段论的省略式，也可以称为省略三段论。

省略三段论所省略的，只是语言表达，而不是它的逻辑结构。也就是说，省略三段论所省略的部分，在逻辑结构上，仍是它的必要部分，只不过没有把它在语言上表达出来而已。

省略三段论有三种形式：

第一， 省略大前提。省略的大前提往往是得到了普遍承认的一般性原理。

第二， 省略小前提。省略的小前提往往是不言而喻的事实。

第三， 省略结论。省略的结论，因为其显而易见，不说出来往往比说出来更有力。

三段论省略式的恢复

三段论省略式的必要性和长处，已如上述。

但三段论省略式也有弱点。一些前提虚假或推理错误的三段论，经省略后，很可能使这些毛病掩盖起来，不易察觉。

因此，在判定省略三段论的有效性时，就需要先把省略部分补充进去，把省略三段论恢复成完整形式。

省略三段论的恢复，有以下步骤：

首先，确定结论是否被省略。在结论前，通常以“因此”、“所以”这样的联词。根据是否有这样的联词，容易断定结论是否被省略。

其次，如果结论没有被省略，那么，根据结论就可以确定大、小项。如果大项没有在省略式的前提中出现，则说明省略的是大前提。如果小项没有在前提中出现，则说是省略的是小前提。

最后，把省略的部分补充进去，并进行适当的整理，就得到了省略三段论的完整形式。

在恢复省略三段论时，要注意两点：

第一， 不违反省略三段论的原意。一般地说，省略三段论的被省略部分的内容，是显而易见的，正因为如此，它才可以省略。要按照省略三段论这种明显的原意进行恢复。不能为了避免省略三段论恢复后出现形式错误而违反它的原意进行恢复。

第二， 如果对省略三段论原意的理解存在岐义，那么，在恢复时所补充的判断，应该力求是真实的。如果不违背原意去补充一个真实的判断作为前提或结论，却补充了一个虚假的判断，这就答去了恢复省略三段论的意义。

三段论的有效性

所谓推理的有效性，就是通过推理，从真的前提必然只能得到真的结论，如果一个推理形式能从真前提推出假结论，那么这个推理形式是无效的。三段论推理也是如此。

传统逻辑中，三段论的256个式中有如下24个有效式，其它的式都是无效的。

第一格：AAA，EAE，AII，EIO；AAI，EAO。

第二格：AEE，EAE，AOO，EIO；AEO，EAO。

第三格：AII，IAI，OAO，EIO；AAI，EAO。

第四格：AEE，IAI，EIO；AEO，EAO，AAI。

注意：分号前是无条件有效式，分号后是有条件有效式，下面会讲解。

传统逻辑假定结论的主项（小项）不是空的，也就是说这一项所表达的集合的元素是存在的，这个假定保证了以上四个格中分号后面的9个式是有效的，分号前面15个式的有效性不受这个假定的影响。可以看到，分号后的9个有效式都有一个特点，那就是结论是特称的，而前提都是全称的。

按照布尔的观点，全称命题不蕴含存在，也就是说不能只用全称命题推出特称命题（一般而言，特称命题都被认为是有存在含义的，“有的A是B”的意思是“存在一个A且那个A是B”）。例如“所有汽车都是交通工具”不蕴含“汽车存在”的意思，所以他认为三段论只有分号前的15个有效式。

而亚里士多德认为在主项实际存在时全称命题就蕴含存在，反之则不蕴含。例如“所有汽车都是交通工具”蕴含汽车存在，而“所有独角兽都是只有一只角的动物”不蕴含独角兽存在，所以他认为在小项（即上面的“汽车”、“独角兽）不空时，分号后的9个式也是有效的。我们也可以说，分号前的15个有效式是无条件有效的，后9个有效式是有条件有效的。

不难看出，第一格的有效式的结论含有AEIO四种形式，第二格只有否定的E、O两种形式，第三格只有特称的I、O两种形式。第一格的有效式的结论既含有直言命题的全部形式，又比较符合日常表达习惯，所以它是比较重要的，后面我们可以看到，三段论的有效式都可以用第一格的前四个式证明。

三段论的有效性的证明

为了正确的运用三段论，必须要判断它的有效性，可是记住全部24种有效形式是比较困难的，我们可以利用多种方式，证明三段论的有效性。

韦恩图法

韦恩图法是判断三段论有效性的最终的也是最直接的方法。如图所示，我们用三个圆来代表大项、小项和中项。中项所代表的集合是最上方的圆，大项是右下角的圆，小项是左下角的圆。画这些圆时，应当确保图中的7个区域被明显的区分。

为了判定一个三段论的有效性，我们要先从语义中提取推理形式，然后将前提按一定顺序输入图中，最后检查结论是否正确，为了正确的输入前提，需要遵照一定的规则：

1：所谓荫蔽指的是被荫蔽的区域内不含任何元素，一般用斜线或阴影表示。

2：画“X”表示所画的区域中至少存在一个元素。

3：全称的前提先输入，特称的前提后输入。如果两个前提都是全称的，先输入哪一个都可以。

4：要画x的区域一般都被分为两部分，若有一个部分被荫蔽，x要画在未被荫蔽的部分。若没有区域被荫蔽，x要画在两个区域的交线上。

还要注意以下几点：

1：所有标记（画x或荫蔽）都是对前提而言，没有标记是为结论所做。

2：输入前提时只需关注该前提所涉及的两个词项的圆，另一个圆只需极小的关注。

3：荫蔽区域时一定要荫蔽相关区域的“全部”。

4：特称结论“有的S是P”的含义是：至少存在一个S并且这个S是P。“有的S不是P”也一样。

5：未被标记的区域的情况是未知的，可能存在元素也可能不存元素，要根据实际情况而定。

另外一点，对于分号前和分号后的式子，验证方法略有不同。

读者可以在下面的例子中再仔细体会。

例一，验证第一格AAA式即“所有M是P，所有S是M，所以所有S是P”的有效性

如图所示，

第一步：因为“所有”M都是P，所以“只属于”M而不属于P的事物是不存在的，所以我们就将区域1和2荫蔽（应当不标注区域序号，这只是为了方便逐步讲解）

第二步：因为“所有”S都是M，所以只属于S而不属于M的事物是不存在的，所以我们就将区域5和6荫蔽

第三步：检查结论，发现S只剩下区域3，而区域3中的元素也必定属于P，所以结论“所有S是P”成立。

第四步：得出结论，该三段论是有效的。

例二，验证第三格IAI式即“有的M是P，所有M是S，所以有的S是P”的有效性

如图所示，

第一步：先输入全称的前提“所有M是S”，荫蔽区域1、4

第二步：再输入特称的前提“有的M是P”，这句话意味着在M和P的共有区域或者说交集中至少有一个元素，即区域3、4的并集中至少存在一个元素，但4已被荫蔽，所以将x画在区域3中。

第三步：检查结论，“有的S是P”说明S和P的交集中即区域3、 6的并集中至少有一个元素，而x恰好在区域3中，结论成立。

第四步：得出结论，该三段论是有效的。

再来看一个分号后的例子。

例三，证明第一格EAO式即“所有M都不是P，所有S都是M，所以有的S不是P”

如图所示，

第一步：输入“所有M都不是P”，即M和P的交集不含任何元素，荫蔽区域3、4

第二步：输入“所有S都是M”，荫蔽区域5、6

第三步：检查结论，“有的S不是P”意味着存在一个x并且那个x是S而不是P，即区域2、5的并集中存在一个x，检查图形却没有这个x。因此该三段论按布尔的观点是无效的，我们继续论证该三段论在亚里士多德的观点下是有效的。

第四步，检查有无只剩一个区域没有被荫蔽的圆，若没有则该三段论是无效的。发现S只剩一个区域2未被荫蔽，因此在区域2中画上一个带圆圈的叉。

第五步，再次检查结论，得到了所需的x。这时，若S是现实存在的项，三段论就是有效的，若S不是现实存在的项，例如“当今存活的霸王龙”等等，那么三段论就是无效的。

注意，有时会出现一个以上的只剩一个区域没有被荫蔽的圆，这时只需将带圈的x画在S的范围内就可以了。第二格的AEO式和EAO式就是如此。

最后再举一个被证明为无效的例子

例四，验证第一格IAI式即“有的M是P，所有S是M，所以有的S是P”的有效性。

如图所示，

第一步：先输入全称的前提“所有S是M”，荫蔽区域5、6

第二步：再输入特称的前提“有的M是P”，即区域3、4的并集中存在一个x，但这两个区域都未被荫蔽，所以将x画在区域3、4的交线上。

第三步：检查结论，“有的S是P”说明S和P的交集中至少存在一个x，即区域3、6的并集中存在一个x，但我们所画的x却不知道到底是在区域3中还是区域4中，两者都有可能。所以当x在区域4中时，前提真而结论假。同时又找不到只剩一个区域未被荫蔽的圆，因此该三段论是无效的。

最后给出24个有效式的韦恩图证明，如图所示。

三段论还原法

除了运用韦恩图法，也可以通过运用一些规则，将欲证的三段论化为第一格分号前的四个有效式，从而证明三段论的有效性。

规则：（为了输入方便，否定用“~”表示 ）

规则Ⅰ1：MAP，SAM，|- SAP(“|-”表示“必然地得出”)

规则Ⅰ2：MEP，SAM，|-SEP

规则Ⅰ3：MAP，SIM，|-SIP

规则Ⅰ4：MEP，SIM，|-SOP

换位规则：SEP， |-PES

换位规则：SIP，|-PIS

差等规则：SAP，|-SIP

差等规则：SEP，|-SOP

矛盾规则：SAP，|-~(SOP)

矛盾规则：SAP，|-~(SIP)

前四个规则是第一格分号前的四个有效式，后面的规则是和直言命题有关的规则。

例一：证明第二格AEE式

∴SEP

1） PAM 前提

2）SEM 前提

3）MES 2），换位规则 [这种写法是说“对2）使用换位规则”，下同]

4）PES 3），1），Ⅰ2

5） SEP 4），换位规则

这就得到了所需的结论。

例二：证明第一格EAO式

∴SOP

1）MEP 前提

2）SAM 前提

3）SEP 1），2），Ⅰ2

4）SOP 3）， 差等规则（使用差等规则证明的都是分号后的有效式，要确保S项的存在性）

例三：证明第二格AOO式

∴SOP

1）PAM 前提

2）SOM 前提

3）~（SOP） 否定结论 [这里运用了间接证明，即通过否定结论，得出一个矛盾，从而确定结论成立，即反证法]

4）SAP 3）矛盾规则

5）SAM 1），4），Ⅰ1 [这里运用Ⅰ1规则时用P作中项]

6）~（SAM） 2），矛盾规则

7）SAM∧~（SAM） 5），6），∧+ [“∧+”指“合取附加律”，这里的意思是使5），6）共同构成矛盾]

8）SOP 3）—7）， 间接证明

运用形式证明，可以将欲证的三段论化为第一格的前四个有效式，这种证明方法叫做三段论还原法。