集合论基本概念之一，是日常使用的第一、第二等表示次序的数的推广。序数概念是建立在良序集概念之上的，而良序集又是偏序集、全序集的特殊情形。实数集上的通常的大小关系、集合之间的被包含关系、自然数之间的可整除关系都是偏序的例。显然，在全序集中xy，三者必居其一且仅居其一。对于全序集〈A，≤〉如果再加上条件⑤A的任一非空子集都有最小元,就称≤为A上的良序,〈A，≤〉称为良序集。可写成α·λ，称为两个序数α,λ的乘积。

基本概况

序数是集合论基本概念之一，是日常使用的第一、第二等表示次序的数的推广。序数概念是建立在良序集概念之上的，而良序集又是偏序集、全序集的特殊情形。

偏序、全序和良序次序是二元关系（见映射）的一个非常重要的类型。设R是定义在A上的满足下列条件的二元关系：①对于一切x∈A有xRx（自反性）；② 对于一切x，y∈A,由xRy与yRx可得x=y（反对称性）；③对于一切x，y，z∈A，由xRy与yRz可得xRz（传递性），就称R是定义在A上的偏序,也称半序。偏序R通常记为≤或

，α≤b)读作α在b前。集合A连同其上定义的偏序≤，称为偏序集,记为〈A，≤〉。实数集上的通常的大小关系、集合之间的被包含关系、自然数之间的可整除关系都是偏序的例。设≤为A上的偏序。如果在A上定义一个关系<，使得x<满足条件：①′对任何x∈A，x><称为严格偏序。反之，设><为严格偏序,如果定义x≤y当且仅当x>y，三者必居其一且仅居其一。实数集及其任何子集在通常的≤关系下是全序集的例。对于全序集〈A，≤〉如果再加上条件⑤A的任一非空子集都有最小元,就称≤为A上的良序,〈A，≤〉称为良序集。按任何顺序排起来的有限集，按自然顺序的自然数集，将所有奇数排在前面、所有偶数排在后面的自然数集{1，3，5，…，2，4，6，…}都是良序集之例。但整数全体，区间［0，1］，就不是良序集。设,为两个偏序集，如果存在A到B的双射φ使得对于一切x，y∈A,x≤1y当且仅当φ(x)≤2φ(y),便称两偏序集为序同构，记为A埍B。例如奇数集与偶数集序同构，但是上面列举的三个良序集没有两个是序同构的。

算术形式

序数的算术设αξ（ξ<λ）为一序数列，在集合A=

中规定其任意两个元素〈γ，i〉、〈δ，j〉的次序如下：

<γ，i>＜<δ，j>当且仅当i＜j或者i=j且γ＜δ；则〈A,＜〉构成一个良序集。A的序数可定义为序数列αξ(ξ<λ)之和,用>

表示之。特别地,当λ=2，α0=α，α1=β时，

可简写为α+β；当对于任何ξ<λ,αξ=α时,

可写成α·λ，称为两个序数α,λ的乘积。对于任何序数α、β、γ,它们的加、乘运算满足:①结合律,(α+β)+γ=α+(β+γ),(α·β)·γ=α·(β·γ);②左分配律,α·(β+γ)=α·β+α·γ。但交换律与右分配律对序数的和、积却并不成立,例如:ω+1>ω=1+ω;ω·2>ω=2·ω；1·ω+1·ω=ω·2>ω=(1+1)ω。由于全体序数构成一个真类（布拉利-福尔蒂定理）,因此对于任何极限序数λ，序数列{αξ|ξ<λ}总有上界，且必然存在最小的上界,它就是序数列{αξ|ξ><λ}的上确界>

。设α，β为序数，归纳地定义αβ如下：

对于任何序数α、β、γ，序数的幂满足：①同底幂的积，

；②幂的幂,

。序数的幂运算不满足“积的幂”性质：

。