对称，就是物体相同部分有规律的重复。晶体具有对称性，这表现在晶体外形上是相等的晶面、晶棱和角顶有规律的重复出现。晶体具有对称性的原因不同于其他物体。

词语简介

基本资料

词目：对称

拼音：duì chèn

英文：symmetry

基本释义

[symmetry;symmetrical] 指图形或物体两对的两边的各部分,在大小、形状和排列上具有一一对应的关系。

我国的建筑,…绝大部分是对称的。

引证解释

1. 指第二人称。

朱自清《你我》：“利用呼位，将他称与对称拉在一块儿。”

2. 物体或图象对某一点、直线或平面而言，在大小、形状和排列上相互对应。

洪深《戏剧导演的初步知识》：“画面构成的第一条原则是‘对称’：左右相等，不偏不倚。”

其它相关

守恒律与对称性的联系

可以肯定的是，杨振宁1962年出版的《原子物理中某些发现的小史》（中译本为《基本粒子发现简史》，上海科学技术出版社1963年出版）引用过（译名为凡尔），杨先生引的那句话“不对称很少仅仅由于对称的不存在”，已成为深刻的哲理名言。我写《分形艺术》时，也装潢门面，把外尔和杨先生的话一并引了。在自然科学和数学上，对称意味着某种变换下的不变性，即“组元的构形在其自同构变换群作用下所具有的不变性”，通常的形式有镜像对称（左右对称或者叫双侧对称）、平移对称、转动对称和伸缩对称等。物理学中守恒律都与某种对称性相联系。

生物形态的对称

一般指图形和形态被点、线或平面区分为相等的部分而言。在生物形态上主要的对称分为下列各种：（1）辐射对称：与身体主轴成直角且互为等角的几个轴（辐射轴）均相等，如果通过辐射轴把含有主轴的身体切开时，则常可把身体分为显镜像关系的两个部分。例如海星可见有五个辐射轴。另外在高等植物的茎和花等，也常具有辐射对称的结构；

（2）双辐射对称：只有两个辐射轴，彼此互成直角，形式上可以把它看成是从辐射对称向左右对称的过渡型（例如栉水母）；

（3）左右对称：或称两侧对称，是仅通过一个平面（正中矢面）将身体分为互相显镜像关系的两个部分（例如脊椎动物的外形）。在正中矢面内由身体前端至后端的轴称为头尾轴或纵轴，这个轴与身体长轴大都一致。在正中矢面内与头尾轴成直角并通过背腹的轴为背腹轴或矢状轴。还有与正中矢面成直角的轴称正中侧面轴（或内外轴）、该轴夹着正中矢面，彼此相等且具有方向相反的极性，如果将两侧的正中侧面轴合起来看成为一轴时，则称为横轴。在辐射对称中，如相当于海星的一根足的同型部分，称为副节（paramere），副节其本身成两侧对称。一般两侧对称的每一半为与同一轴相关而极向相反的同型部分，此称为对节或体辐。副节、对节等的同型部分，一般来看，仅相互方向不同，可认为这是与对外界的关系相同有着密切的联系。所以在个体发生或系统发生过程中其生活方式变化时，而与之相关的对称类型也时有变化。例如棘皮动物在自由运动的幼体期具有左右对称的体制，在接近静止生活的成体，则显有辐射对称的体制。再如比目鱼等左右体侧可成为二次的背腹关系。把无对称的关系称为非对称（asy－metry），其中具有规则形态的在生物界可广泛见到的有螺旋性。此外还有即使外形上表现对称，但与外界无直接关系的内脏，基本既可表现为对称的，也有不少由于形态变形而表现为不对称的。

中心对称

概念

把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称（central symmetry），这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。

中心对称和中心对称图形是两个不同而又紧密联系的概念．它们的区别是：中心对称是指两个全等图形之间的相互位置关系，这两个图形关于一点对称，这个点是对称中心，两个图形关于点的对称也叫做中心对称．成中心对称的两个图形中，其中一个上所有点关于对称中心的对称点都在另一个图形上，反之，另一个图形上所有点的对称点，又都在这个图形上；而中心对称图形是指一个图形本身成中心对称．中心对称图形上所有点关于对称中心的对称点都在这个图形本身上．如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形；一个中心对称图形，如果把对称的部分看成是两个图形，那么它们又是关于中心对称．

也就是说：

① 中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与自身重合，那么我们就说，这个图形成中心对称图形。

②中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称。

中心对称图形

正（2N）边形（N为大于1的正整数）、线段、圆、平行四边形、直线等。

实际上，除了直线外，所有中心对称图形都只有一个对称点。

既不是轴对称图形又不是中心对称图形：不等腰三角形，直角梯形，普通四边形

中心对称的性质

①关于中心对称的两个图形是全等形。

②关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

③关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。

识别一个图形是否是中心对称图形就是看是否存在一点，使图形绕着这个点旋转180°后能与原图形重合。

中心对称是指两个图形绕某一个点旋转180°后，能够完全重合，称这两个图形关于该点对称，该点称为对称中心.二者相辅相成，两图形成中心对称，必有对称中点，而点只有能使两个图形旋转180°后完全重合才称为对称中点.

辐射对称动物

辐射对称动物Radiata是左右对称动物的对应词。顾维尔（G.L.Cuv－ier）把大部分的棘皮动物、腔肠动物、海绵动物、扁形动物及滴虫类命名为辐射对称动物。冯·西波德（K.T.von Siebold）把棘皮动物、腔肠动物、海绵动物总称为辐射对称动物。以后，被命名为腔肠动物（有时也包括棘皮动物）。

科学与艺术

科学和艺术都很重视对称性。对于科学，对称性决定了各种可能的守恒定律，因而具有更根本性的意义。在艺术中，对称性常与平衡、形状、形式、空间等一同讨论。人们通常从静态表现上理解对称性，有一定意义，但更重要的是从操作意义上、从生成过程上理解对称性。

一在科学中，对称性是指某种操作下的不变性或者守恒性，对称性常与守恒定律相联系。与空间平移不变性对应的是动量守恒定律；与时间平移不变性对应的是能量守恒定律；与转动变换不变性对应的是角动量守恒；与空间反射（镜像）操作不变性对应的是宇称守恒。在弱相互作用中，“宇称”不守恒，自然界在C或P下不是对称的，在CP下也不是对称的，但却是CPT对称的。这里C表示电荷变号操作，相当于反转变换，如由底片洗出照片，电子变正电子，物质变反物质；P表示镜像反射操作，如人照镜子；T表示时间反演操作，如微观可逆过程。也就是说，当同时把粒子与反粒子互变（C）、左与右互变（P）、过去与未来互变（T），自然界又是对称的。

但把物质的宇称、超荷、同位旋等所有物理性质都加起来考虑，会发现它们总体上并不守恒，即对称性有破缺。人们假设，这是只考虑“物质”的结果，如果把“真空”也算在内，就有可能找回“失去的对称性”，总体上这世界仍然是对称的、守恒的。问题是，到目前为止，科学家对真空的了解还不够多。为什么CP不守恒，而CPT就守恒？CPT守恒意味着什么？CPT真的永远守恒吗？这都是些非常重要而艰难的问题，还有很大一部分需要科学家进一步研究来解答。

对称性是第一世界固有的，还是第二世界强加于其上的？是自然界的属性，还是自然科学中物理定律的属性？或者问，对称性是客观的，还是主观的？一种简便的而肯定的回答是，对称性是客观的、自然世界固有的属性。这也是过去流行的观点，但此观点对于解决问题并不比相反的观点更具有优势。如果把认识世界视为一个复杂的、不断进步的过程，理解对称性也要放在一个过程之中进行，在此认识系统中，“属性”的词汇是不恰当。如果仍然保留“属性”一词，它也只能指对象在某种条件下表现出来的功能，这也可以称作“条件主义”科学哲学。条件也即约束，可对应于某种操作，标示某种认识层次。对称性原理均根植于“不可观测量”的理论假设上；不可观测就意味着对称性，任何不对称性的发现必定意味着存在某种可观测量。（李政道）那么“不可观测”是不是由于我们认识能力而导致的一种假相呢？

李政道说：“这些‘不可观测量’中，有一些只是由于我们目前测量能力的限制。当我们的实验技术得到改进时，我们的观测范围自然要扩大。因而，完全有可能到某种时候，我们能够探测到某个假设的‘不可观测量’，而这正是对称破坏的根源。然而，当确实发生这样的破坏时，一个更深入的问题是，我们怎么能够确信这不是意味着世界不对称呢？是否有可能，自然界基本规律仍然是对称的？是自然规律不对称，还是世界不对称？这两种观点究竟有什么区别呢？”此论述概括了理论物理学的认识过程，更涉及一些基本的哲学问题。

二

当年数学家魏尔（H．Weyl）在讨论艺术作品中的对称性时，提到西方艺术像其生活一样，倾向于缓解、放宽、修正，甚至打破严格的对称性，接着有一名句：“但是不对称很少是仅仅由于对称的不存在。”（《对称》，商务1986，第11页）杨振宁引用了魏尔的话，并加上一句评论：“这句话有物理学中似乎也是正确的。”（《基本粒子发现简史》，上海科技1979，第58页）我们则又加一句，无论对于科学还是艺术，“同样，找到对称也绝对不是仅仅由于非对称的不存在。”

科学和艺术都是讲究对称性的，对称性意味着某种规则，很难想象像科学与艺术如此宏大而不断积累的人类文明会没有规则，杂乱无章。那么是否可以推论出，科学与艺术只关注规则、对称性，并且只有对称的东西才称得上科学与艺术呢？答案是否定的。李政道1996年5月23日在中央工艺美术学院的演讲中曾指出：“艺术与科学，都是对称与不对称的巧妙组合。”这无疑是正确的。对称是美，不对称也是美，准确说，对称与对称破缺的某种组合才是美。“单纯对称和单纯不对称都是单调。一个对称的建筑只有放在不对称的环境空间中才显得美，反之亦然。”

无论对于科学还是对于艺术，对称性都涉及不同的方面和不同的层次。不同方面指对称的多样性：平移对称（连续装饰花纹、花布）、旋转对称（穹窿、五角星、伞、晶体）、左右对称性（建筑立面、人体）及联合操作对称性（埃舍尔的《骑士图》，类似CP操作）。不同方面还涉及局部与整体的关系，对称性有长程整体对称（如晶体），也有局部短程对称（如准晶、凯尔特装饰艺术），这些在科学与艺术作品中都有许多实例。不同层次指对称性依赖于物质层次或者观念层次，在不同的层次上对称性可以很不相同，以人体为例，外表是左右对称的，但内脏则不是，心脏通常靠近左侧，肾等还是对称的。凯尔特艺术（Celticart）有很强的规则性，可以明显地发现少数基本结构在不同的层次上重复出现，不同层次的对称性与对称性破缺相互照应，细节丰富、层次分明，给予人以较强的装饰效果。可以肯定地说，凯尔特艺术有意识地利用了伸缩变换不变性，即标度变换下的不变性，也就是自相似对称性。特别有趣的是，在分形科学与艺术中，能够观察到各种对称性，既有不同方面的也有不同层次的，通过复函数计算机迭代，非常容易地展示这些对称性。

“对称案”重现江湖

近日，杨振宁或将与《李政道传》上法庭打官司。主要是围绕季羡林之子、李政道助手季承撰写的《李政道传》。杨振宁称《李政道传》有诸多不实之处，并再次强调，半个多世纪以来，他和李政道决裂的责任在李政道。昨日，季承表示，欢迎杨振宁“质疑”。因为回应越多，才能越有助于相关研究者和学界找到事情的真相。季承还表示，如果杨振宁要起诉他，他愿意应诉。

据杨振宁说，《李政道传》中，季承引用李政道的说法，认为宇称不守恒的突破思想是李政道先提出的。对此，杨振宁表示，突破思想是两个人在研究中“顿悟”的，而顿悟的是“杨”还是“李”，他也没有铁证，但他又称“80%~90%的可信度是自己”，因为发现该定律最重要的是与对称有关的系数，而对称是他的专业，“所以才能想到这不寻常的一面”。

《对称》小册子

《对称》是举世闻名的大手笔小册子，是作者大学退休前“唱出的一支天鹅曲”，它由普林斯顿大学出版社将外尔（C.H.H.Weyl，曾译作魏尔或者凡尔）退休前的系列讲座汇编而成书。据说许多百科全书的“对称”条目都将外尔的这部小书列为主要参考文献。

图书一

图书信息

作者：（德）外尔着，冯承天，陆继宗译

出 版 社：上海科技教育出版社

出版时间：2005-4-1版次：1页数：171字数：106000

印刷时间：2005-4-1开本：纸张：胶版纸

印次：I S B N：9787542837882包装：平装

内容简介

遵循现代人文教育和公民教育的理念，秉承通达民情，化育人心的中国传统教育精神，大学经典依据中西文明传统的知识谱系及其价值内涵，将人类历史上具有人文内涵的经典作品编辑成为大学教育的基础读本，应时代所需，顺时势所趋，为塑造现代中国人的人文素养，公民意识和国家精神倾力尽心。开放人文旨在提供全景式的人文阅读平台，从文学、历史、艺术，科学等多个面向调动读者的阅读愉悦，寓学于乐，寓乐于心，为广大读者陶冶心性，培植情操。

目录

序言及文章评注

双侧对称性

平移对称性、旋转对称性和有关的对称性

装饰对称性

晶体·对称性的一般数学观念

附录A 确定三维空间中由真旋转构成的所有有限群

附录B 计入非真旋转

致谢

图书二

图书信息

书名：Symmetries(对称)

ISBN：9787302214786

作者：Johnson, D.L.着

定价：34元

出版日期：2009-11-1

出版社：清华大学出版社

图书简介

本书研究空间几何中的各种对称，介绍相关的对称群；以通俗易懂的方式讲述几何与群的本质，以及两者之间的联系（即对称）。书中有大量习题并附部分习题答案或提示。本书是一本优秀的数学教材，适用于数学系本科生和其他专业对数学有兴趣的本科生用作数学参考书或课外读物。

目录

Contents1. Metric Spaces and their Groups ............................ 11.1 Metric Spaces............................................ 1-1.2- Isometries ...............................................-41.3 Isometries of the Real Line ................................ 51.4 Matters Arising .......................................... 71.5 Symmetry Groups........................................ 102. IsometriesofthePlane..................................... 152.1 Congruent Triangles ...................................... 152.2 IsometriesofDifferentTypes............................... 182.3 The Normal Form Theorem................................ 202.4 Conjugationoflsometries ................................. 213. Some Basic Group Theory.................................. 273.1 Groups.................................................. 28A~m~3.2 Subgroups ............................................... 503.3 Factor Groups ........................................... 333.4 Semidirect Products ...................................... 364. Products of Reflections ..................................... 454.1 The Product of Two Reflections............................ 454.2 Three Reflections......................................... 474.3 Four or More ............................................ 505. Generators and Relations................................... 555.1 Examples................................................ 565.2 Semidirect Products Again ................................ 60eoeXlllxiv Contents~ I ~ ~ I I I _ II I I I I I II I III ~ ~ I I I I I15.3 Change of Presentation.................................... 615,5.4 Triangle Groups.......................................... 6[)15.5 Abelian Groups .......................................... 706. Discrete Subgroups of the Euclidean Group ................ 7[)-15.-1- -Leonardo's Theorem ......................................-~Su6.2 ATrichotomy............................................ 816.3 Friezes and Their Groups.................................. 836.,1 The Classification ........................................ 8157 Plane Crystallographic Groups' OP Case 897.1 The Crystallographic Restriction ........................... 807.2 TheParametern......................................... Ol7.3 The Choice of b .......................................... 027.4 Conclusion .............................................. 048. Plane Crystallographic Groups: OR Case................... 97-8.-1--A Useful----Dichotomy ......................................--978.2 The Case n - 1 .......................................... 10083 The Case n - 2 1008 4 The Case n - 4 1018 5 The Case n - 3 1028 6 The Case n - 6 1049. Tessellations of the Plane................................... 107O.1 Regular Tessellations...................................... 1079.2 Descendants of (4, 4) ..................................... 1109.3 Bricks................................................... 1129.4 Split Bricks.............................................. 1139.5 Descendants of (3, 6) ..................................... 11610. Tessellations of the Sphere.................................. 123dMm~10.1 Spherical Geometry....................................... 12310.2 The Spherical Excess ..................................... 125-1--0.3 Tessellations of- the--Sphere.................................-1--281-0.-4 The-Platonic Solids.......................................-1-~3010.5 Symmetry Groups........................................ 13311. Triangle Groups ............................................ 13911.1 The Euclidean Case....................................... 14011.2 The Elliptic Case......................................... 14211.3 The Hyperbolic Case...................................... 144Contents xvI I I I I I I __ I II Ilml11.4 Coxeter Groups . ......................................... 14612. Regular Polytopes.......................................... 15512.1 The Standard Examples................................... 15612.2 The Exceptional Types in Dimension Four................... 15812.8 Three Concepts and a Theorem ............................ 16012.4 Schliifli's Theorem ........................................ 1ogSolutions ....................................................... 167Guide to the Literature......................................... 187Index of Notation .............................................. 1OlIndex........................................................... 105

对称群

无法区别上下脚标理解起来比较麻烦

群的基本概念

一个分子具有的全部对称元素构成一个完整的对称元素系，和该对称元素系对应的全部对称操作形成一个对称操作群，群是按照一定规律相互联系着的一些元(又称元素)的集合，这些元可以是操作、数字、矩阵或算符等。连续做两个对称操作即和这两个元的乘法对应。 若对称操作A,B,C,…的集合G={A,B,C,…}同时满足下列四个条件，这时G形成一个群。

(1)封闭性：指A和B若为同一群G中的对称操作，则AB=C，C也是群G中的一个对称操

作。

(2)主操作：在每个群G中必有一个主操作E，它与群中任何一个操作相乘给出AE=EA=A

(3)逆操作：群G中的每一个操作A均存在逆操作A-1，A-1也是该群中的一个操作。逆操作

是按原操作途径退回去的操作。AA-1=A-1A=E

分子点群及分类

在分子中，原子固定在其平衡位置上，其空间排列是对称的图象，利用对称性原理探讨分子的结构和性质，是人们认识分子的结构和 性质的重要方法。分子对称性是联系分子结构和分子性质的重要桥梁。分子点群大致可分为几类：Cn、Cnv、CNH、Dn、Dnh、Dnd及高阶群。

1.Cn点群

Cn群只有1个Cn旋转轴。独立对称操作有n个，阶 次为n。若分子只有n重旋转轴，它就属于Cn群，群元素为{E，Cn，Cn 2…Cnn-1}。这是n阶循环群。最简单的点群C1只含一个主操作E， 它包括所有不对称分子和分子构型，所以这类分子都有手性。比如：CH3CH2CHBrCH3，葡萄糖等。

2.Cnh点群

Cnh群中有1个Cn轴，垂直于此轴有1个σh。阶次为2n。C1h点群用Cs记号。若分子有一个n重旋转轴和一个垂直于轴 的水平对称面就得到Cnh群，它有2n个对称操作，{E，Cn，CN2……Cnn-1，σn，Sn2……Snn-1}包括（n-1）个旋转、一个反映面， 及旋转与反映结合的（n-1）个映转操作。当n为偶次轴时，S2nn即为对称中心。

以反式二氯乙烯分子说明C2h点群，C=C键中点存在垂直于分子平面的C2 旋转轴；分子所在平面即为水平对称面σh；C=C键中点还是分子的对称中心i。 所以C2h点群的对称操作有四个：{E，C2，σh，i}，若分子中有偶次旋转轴及垂直于该轴的水平平面，就会产生一个对称中心。

3.Cnv点群

Cnv群中有1个Cn轴,通过此轴有n个σv。阶次为2n。若分子有 n重旋转轴和通过Cn轴的对称面σ，就生成一个Cnv群。由于Cn轴的存在，有一个对称面，必然产生（n-1）个对称面。两个平面交角为π/n。它也是2n阶群。

水分子属C2v点群，C2轴经过O原子、平分∠HOH，分子所在平面是一个σv平面，另一个σv平面经过O原子且与分子平面相互垂直。与水分子类似的V 型分子，如SO2、NO2、ClO2、H2S,船式环已烷、N2H4等均属C2v点群。其它构型的C2v分子如稠环化合物菲（C14H10），茚，杂环化合物呋喃(C4H4O)吡啶 (C5H5N)等。NH3分子是C3v点群典型例子。C3轴穿过N原子和三角锥的底心， 三个垂面各包括一个N-H键。其它三角锥型分子PCl3、PF3、PSCl3、CH3Cl、 CHCl3等，均属C3v点群，P4S3亦属C3v点群。CO分子是C∞v点群典型例子。 C∞v轴穿过了C原子和O原子所在的直线，任何一个经过C原子和O原子所在的面都是其σv平面。

4.Sn和Cni点群

分子中有1个In轴，当n为奇数时，属Cni群；当n为偶数但不为4的整数倍时，属Cn/2h点群；当n为4的整数倍时，属Sn点群。分子中只含有一个映转轴Sn的点群属于这一类。映转轴所对应的操作的绕 轴转2π/n，接着对垂直于轴的平面进行反映。

S1=Cs群：S1=σ、C11=σ即S1为对称面反映操作，故S1群相当于Cs 群。即对称元素仅有一个对称面。亦可记为C1h=C1v=Cs：{E，σ}。这样的 分子不少。如TiCl2(C5H5)2，Ti形成四配位化合物，2个Cl原子和环戊烯基成对角。又如的六元杂环化合物N3S2PCl4O2亦是属于Cs对称性。

Ci群：S2=σ、C2=Ci为绕轴旋转180°再进行水平面反映，操作结果相当于一个对称心的反演。故S2群亦记为Ci群。例如Fe2(CO)4(C5H5)2，每个Fe与一个羰基，一个环戊烯基配位，再通过两个桥羰基与另一个Fe原子成键，它属于Ci对称性。S3=σC3=C3+σ

S4点群：只有S4是独立的点群。例如：1,3,5,7-四甲基环辛四烯，有一个S4映转轴，没有其它独立对称元素，一组甲基基团破坏了所有对称面及C2轴。

5.Dn点群

Dn群由1个Cn轴和垂直于此轴的n个C2轴组成，阶次为2n。 如果某分子除了一个主旋转轴Cn(n≥2)之外，还有n个垂直于Cn轴的二次 轴C2，则该分子属Dn点群。

6.Dnh点群Dnh群

由Dn群的对称元素系中加入垂直于Cn轴的σh组成。若Cn奇数轴，将产生I2n和n个σv，注意这时对称元素系中不含对称中心i。若Cn 为偶数轴，对称元素系中含有In，n个σv和i。Dnh分子含有一个主旋转轴Cn （n>2），n个垂直于Cn轴的二次轴C2，还有一个垂直于主轴Cn的水平对称面σh；由此可产生4n个对称操作：{E，Cn，Cn2，Cn 3…Cnn-1；C1(1)，C2(2)…C2(n)；σh，Sn1，Sn2，…Snn-1；σv(1)，σv(2)…σv(n)｝Cn旋转轴产生n个旋转操作，n个C2 (i)轴旋转产生n个旋转操作，还有对称面反映及（n-1）个映转操作，n个通过Cn主轴的垂面σv的反映操作。故Dnh群为4n阶群。

D2h对称性的分子亦很多，如常见的乙烯分子，平面型的对硝基苯分子 C6H4(NO2)2，草酸根离子[C2O4]2-等。

D3h：平面三角形的BBr3、CO32－、NO3 －或三角形骨架的环丙烷均属D3h点群。三角双锥PCl5、三棱柱型的Tc6Cl6(图VI)金属簇合物等也是D3h对称性。

D4h：[Ni(CN)4]2－、[PtCl4]2－等平面四边形分子属D4h对称性，典型的金属四重键分子Re2Cl8 2－，两个Re各配位四个Cl原子，两层Cl原子完全重叠，故符合D4h对称性要求。

D5h：重叠型的二茂铁属D5h对称性(平行的)，IF7、UF7离子为五角双锥构 型，也属D5h对称性。

D6h：点群以苯分子为例，苯的主轴位于苯环中心垂直于分子平面，6个二 次轴，3个分别经过两两相对C-H键，3个分别平分6个C－C键。分子平面 即σh平面，6个σv垂面分别经过6个C2轴且相交于C6轴。苯环属于D6h对 称群，共有4×6＝24阶对称操作，是对称性很高的分子。二苯铬（重叠型）也是D6h对称性。

D∞h：同核双原子分子H2、N2、O2等，或中心对称的线型分子CO2、CS2、 C2H2、Hg2Cl2等属于D∞h对称性。在分子轴线存在一个C∞轴，过分子中心又有 一个垂直于分子轴的平面，平面上有无数个C2轴⊥C∞轴，还有无数个垂面σv 经过并相交于C∞轴。

7.Dnd点群Dnd群

由Dn群的对称元素系和通过Cn有平分2个C2轴的夹角的n个σd组成。若Cn奇数轴，对称元素系中含有Cn，n个C2，n个σd，i和In，若Cn为偶数轴，对称元素系中含有Cn，n个C2，n个σd和I2n，注 意这时不包含对称中心i。一个分子若含有一个n重旋转轴Cn及垂直于Cn轴n个2次轴，即满足Dn群要求后，要进一步判断是Dnh或Dnd，首先要寻找有否 垂直于Cn主轴的水平对称面σh。若无，则进一步寻找有否通过Cn轴并平分C2轴的n个σd垂直对称面，若有则属Dnd点群，该群含4n个对称操作。以丙二烯为例说明。沿着C=C=C键方向有C2主轴，经过中心C原子垂直于C2轴的2个C2轴，与两个平面成45°交角。但不存在一个过中心D、垂直于主轴的平面，故丙二烯分子属D2d而不是D2h。D4d：一些过渡金属八配位化合物， ReF8 2－、 TaF8 3－和Mo(CN)8 3+等均形成四方反棱柱构型，它的对称性属D4d。

8.T，Th和Td点群

这些是四面体群，其特点是都含有4个C3轴，按立方体体对角线排列。T点群由4个C3，和3个C2组成。Th点群由4个C3和3个C2，3个σh（它们分别和3个C2轴垂直）和i组成。Td点群由4个C3，和3个I4（其中含有C2）和6个σd（分别平分4个C3轴的夹角）组成，注意其中不包含对称中心i。

T群：当一个分子具有四面体骨架构型，经过每个四面体顶点存在一个C3 旋转轴，4个顶点共有4个C3轴，联结每两条相对棱的中点，存在1个C2轴，六条棱共有3个C2轴，可形成12个对称操作：｛E，4C3，4C32，3C2｝。这些对称操作构成T群，群阶为12。T群是纯旋转群,不含对称面,这样的分子很少。

Th群：当某个分子存在T群的对称元素外，在垂直C2轴方向有一对称面，3个C2轴则有3个对称面，C2轴与垂直的对称面又会产生对称心。这样共有24个对称操作｛E，4C3，4C32，3C2，I，4S6，4S65，3σh｝，这个群称Th群，群阶为24。

Td群：若一个四面体骨架的分子，存在4个C3轴，3个C2轴，同时每个C2轴还处在两个互相垂直的平面σd的交线上，这两个平面还平分另外2个C2轴（共有6个这样的平面）则该分子属Td对称性。对称操作为｛E，3C2，8C3，6S4，6σd｝共有24阶。这样的分子很多。四面体CH4、CCl4对称性属Td群，一些含氧酸根SO4 2－、PO4 3－等亦是。在CH4 分子中，每个C－H键方向存在1个C3轴，2个氢原子连线中点与中心C原子间是C2轴， 还有6个σd平面。

9.O和Oh点群

这些是八面体群，其特点是都含有3个C4轴，O群由3个C4，和4个C3和6个C2组成。Oh群由3个C4，和4个 C3和6个C2，3个σh（分别和3个C4轴垂直），6个σd（分别平分4个C3轴的夹角）和i等组成。分子几何构型为立方体、八面体的， 其对称性可属于O或Oh点群。

O群：立方体与八面体构型可互相嵌套，在立方体的每个正方形中心处取一个顶点,把这六个顶点连接起来就形成八面体。经过立方体两个平行面的中心，存在1个C4旋转轴，共有3组平行面，所以有3个C4轴。通过相距最远的两个顶点有1个C3轴，共有4个C3轴，3个C4轴与4个C3轴构成了24个对称操作，{E，6C4，3C2 '，6C2，8C3}，构成纯旋转群O群。O群的C4轴对八面体构型来说，存在于两个对立顶点之间。6个顶点就有3个C4轴，联结两个平行的三角面的中心，则为1个C3轴，共有8个三角面，就有4个C3轴.。 对称性为O群的分子较少。

Oh群：一个分子若已有O群的对称元素（4个C3轴，3个C4轴），再有一个垂直于C4轴的对称面σh，同理存在3个σh对称面，有C4轴与垂直于它的水平对称面，将产生一个对称心I，由此产生一系列的对称操作，共有48个：{E，6C4，3C2，6C2'，8C3，I，6S4，3σh，6σv，8S6}这就形成了Oh群，它包括八面体和立方体。属于Oh群的分子有八面体构型的SF6、WF6、Mo(CO)6，立方体构型的OsF8、立方烷C8H8，还有一些金属簇合物对称性属Oh点群。例如Mo6Cl8

4+或Ta6Cl12 2+，这两个离子中，6个金属原子形成八面体骨架，Cl原子在三角面上配位，或在棱桥位置与M配位，还有一种立方八面体构型的分子对称性也属Oh群。

10.I和Ih点群

这些是二十面体群，其特点是都含有6个C5轴。I点群由6个C5，10个C3 或15个C2组成。Id点群由6个C5，10个C3或15个C2，15个σ和i组成。Id点群有时又称Ih 点群。正二十面体与正十二面体具有完全相同的对称操作。（将正十二面体的每个正五边形的中心取为顶点，联结起来就形成严格正二十面体。反之，从正二十面体每个三角形中心取一个顶点，联结起来就形成一个正十二面体。）

I群：现以十二面体为例说明；联结十二面体两个平行五边形的中心，即是多面体的一个C5 对称轴，共有12个面，即有6个C5轴，联结十二面体相距最近的两个顶点，则为C3轴，共有20 个顶点，故有10个C3轴。经过一对棱的中点，可找到1个C2轴，共有30条棱，所以有15个C2 轴。6个C5轴、10个C3轴、15个C2轴共同组成了I群的60个对称操作：{E，12C5，12C5 2，20C3，15C2}，I群的一个60阶的纯旋转群。属于I群的分子很少，典型的是脊髓灰质炎病毒。

Ih群：在I群对称元素基础上，增加一个对称心，即可再产生60个对称操作，形成120个对 称操作的Ih点群：{E，12C5，12C5 2，20C3，15C2，i，12S10，12S10 3，20S6，15σ}。正十二面体 和正二十面体的构结属于这个点群，C60也属Ih点群。

分子所属点群的判别

一个分子的对称性一定属于上述10类点群中的一种。首先查看是否是线性的，再查看有无多个高次轴Cn：注意有无6个C5，或3个C4，或4个C3，以区分二十面体群，八面体群，四面体群。再查看有无一个n≥2的Cn轴，n个C2轴，垂直Cn轴的σh，平分C2轴的σd，以区分Dn，Dnh，Dnd；进一步区分只有一个In轴的点群Sn和Cni；区分只有一个Cn轴的Cn，Cnh和Cn v等。

所有分子都可以归纳为这些对称点群的分类，用群论的方法来处理这样的对称性是在分子的尺度上忽略了原子的差异性的。这些分子又构成了大分子体系以及细胞和生物体，对称性并没有因为系统的非线性叠加而消失；由于系统的自相似性存在，这样的对称性在将一直延伸到 宏观世界。比如：Ih点群正二十面体的噬菌体，I点群的脊髓灰质炎病毒等都有着类似分子的对称性（忽略病毒各个面分子的差异性）。

还有水分子由于氢键链接形成的对称结构，由于空间平移的不变性在宏观表现为对称六边形的雪花；六边形结构是稳定性与对外接触吸收更多水分相 妥协结果。因为雪花的形成过程是混沌的，所以世界上没有两片完全相同的雪花，但雪花都是对称的。当然，宏观的事物相对微观的角度来观察，差异性是必然存在的；而微观的事物相对宏观的角度来观察，则是忽略这样的差异性，而表现出来的紧密对称性。

对称性的扩张（symmetryexpanded）

很多自然界的形状又都包含着诸多对称性操作的扩张。事物的对称性，并不仅仅是一种点 群的归纳，事物的的发展往往伴随对称性的扩张。1952年外尔（H.Weyl）提出用数学处理相似 对称的方法。他定义了两个相似变换的平面E2：一个中心扩张（简称扩张）和扩张旋转，且限 制扩张系数k>0，他使空间等距、平移和扭转分别建立了联系。即平移对称和旋转对称的迭代， 这种操作无限迭代构成Σ群。他的分析是基于满足自然界的相似性。像鹦鹉螺那样按照对数螺 旋（位矢与切线间的夹角保持恒定）其形状始终保持不变,鹦鹉螺的螺旋中暗含了菲波纳切数列， 而菲波纳切数列的两项间比值也是无限接近黄金分割数的。

在平面相似对称理论的进一步发展是许勃尼科夫(A.V.Shubnikov)，他指出所有的相似性变换平面E2：中心扩张k，膨胀旋转L和扩张反映M，都源于旋转和反映；并衍生出五种相似对称群，CnK,CnL,CnM,DnK,DnL,；DnL与DnM是一致的。更多内容可以参见SlavikV.Jablan的《对称性和装饰》、KlausMainzer的《对称性与复杂性——热情而美丽的非线性科学》以及Hermann Weyl的《对称性》。

艺术与对称

荷兰画家埃舍尔（M.C.Escher）的骑士图对镜象反射加上黑白置换和必要的平移操作才构成对称操作。对称性的扩张是通过联合对称性操作实现的，从简单到复杂，对称性的扩张也都是由几种对称性操作而组成。简单的对称点群，通过对称操作形成了复杂的对称图案，而这样的对称性扩张不仅仅是在几何意义上的。在经济学中对称性是一个功能原则；在社会学中是一个动态原则。

在社会学中对称性扩张的结果就 是平衡，例如民主与划分力量平衡的洛克自由主义影响了美国和法国的宪法。

音乐必要成分的创作是另一种艺术，这包括：结构、形式、组织、和谐、比例、平衡。是否有一个创作音乐的普遍原理，即音乐的部分组织成为一个整体？拉里·所罗门(LarryJ.Solomon)在他的博士论文中提出一个观点，对称性就是这样的一个普遍原则。音乐的关系组成在不同国家文化、历史、种族中，大部分是基于对称性建立的。

对称性的观念并不只限于基础数学、物理，他还包括艺术，文化和经济等；对称性原则是一般性原则的决定原则。对称群中的反映、旋转和平移操作一样可以应用于其他领域。在乐谱中时间代表水平线，如果关于轴对称其结果是与原来全等，而满足了反射对称的条件。在三维轴（或三个层面，音高、时间、动态）反映成为平面，大多数音乐剧的形式只限于两个变量，我们可以在二维空间中参考他们的图样，音乐符号在音调轴和音高轴同样可以对称，音高在音符代表垂直。