转自《中国教师报》2017年3月29日
从理解到行动的三个策略
□ 王 岚
对于素养、核心素养、学科核心素养，诸多专家给出了各种论述。在一线教师眼里，核心素养这一概念并非从无到有的全新建构，而是对“带得走的能力”与“留下来的东西”这些传统共识的学术表达。作为数学教师，我常常自问：数学给予孩子带得走的能力是什么？忘却了所有的数学概念、公式与原理之后留下来的又是什么？我的答案是数学的眼光、数学的思维与数学的表达。因此在实践中，我不断引领儿童感受数学式的生长，经历数学家的研究，尝试数学味的表达。
感受数学式的生长
英国学者P.欧内斯特说：“数学教学的问题并不在于教学的最好方式是什么，而在于数学是什么。”这里的数学，不是某一个版本的数学教材，而是你和学生共同建构的“自己的数学”。
让儿童看到数学的发生与发展，让儿童亲历知识的成长与演化，是核心素养视野下教师应有的尝试。如各个版本的异分母分数加减法，教材给出的思路大多是先通分转化为同分母分数后再相加减。然而，对于异分母分数加减法这一新的内容，不同的学生完全可以建构不一样的数学式的生长。教师需要做的是看到“每一个儿童”，激活不同的学习经验，帮助学生在新旧知识间建立起数学的连接。有的学生把异分母分数转化为小数，有的把异分母分数转化为同分母分数，有的把异分母分数加上单位转化为整数，有的借助线段图，等等。在此基础上，教师需要引导学生观察不同之中的相同，也就是寻找到数学的本质。尽管形式看似各不相同，但其实质都是相同的，都是将不同的计数单位转化为相同的计数单位，都能借助原有认知结构中的资源进行转换、解释与应用。而这样的过程，以“转化”思想方法为内核，帮助每一个儿童感受到数学知识之间的结构性关联与建构式生长。
经历数学家的研究
如果我们把数学的公式、概念、原理形象地比作各类维生素，那么儿童的数学学习不应该来源于食之无味的维生素片，而应来源于富含各种维生素的美味果蔬。在实践中认识数学，在实践中研究数学，在实践中发展数学，是儿童学习与研究数学的应有路径。
苏教版教材中新增内容《钉子板上的多边形》，就是引领学生经历数学家式研究的好素材。从“钉子板上的多边形面积会与什么有关”的思考，进而发现与图形内部的钉子数及边上的钉子数都有关系，需要在两个变量中选择一个作为不变量，从而关注另一个变量与面积之间的关系。然后在有序思考的经验影响下，分别研究内部钉子数为0、1、2、3……时，边上钉子数与面积之间的关系，并进行大量举例验证，尝试不完全归纳。最后从一系列规律的探寻中进行整体建构，从而得到钉子板上图形面积、内部钉子数、边上钉子数的关系式。而在这样的学习过程中，学生不断进行假设、验证，从一条规律到一群规律，从一群规律再上升到统一规律。这样的研究，已经呈现出类似于数学家研究的“准实验”过程。而事实上，孩子们最终的研究成果就是数学家所发现的“皮克定理”。当孩子们看到自己的研究与科学家的成果一致时，研究中的方法、合作时的共享、发现后的喜悦、被肯定的欢欣，必定长久留存在记忆之中。
尝试数学味的表达
每一个人都是一个自我建构者，儿童也不例外。在与生活的交互中，与数学的对话中，儿童正在不断尝试用自己的方式建构数学，用自己的语言表达数学。这样的建构过程，是一个输入与输出交换的过程，也是一个外显与内化互动的过程。
在《用数对确定位置》的教学中，教师就可以鼓励学生用自己的方式表达数学。通过对若干个第几列第几行的位置进行记录，让学生觉得全部记录有困难，从而自觉产生简化的需求。事实上，这样的过程本身就是一个数学化表达的过程。以一个例子进行多样化分享，有的记录为5列3行，有的记录为5|3-，有的记录为列5行3，有的记录为5 3，有的记录为5.3，有的记录为5,3，等等，通过讨论与交流形成共识。简化的过程有一个“顺序”问题——先讲“列”再说“行”；有一个“关键”问题——简化过程中5和3都要保留；再有一个“区分”问题——用符号将5和3隔开，且不会与原有的数学表达产生混淆；还有一个“整体”问题——第5列第3行的位置是一个整体，缺一不可。在讨论中调整，在分享中优化，最终形成全班都认可的数学表达（5,3），而这恰好就是通用的表达方式。
数学核心素养，需要我们建构个性化理解，更需要我们进行个性化实践。从教法设计转向学法指导，从知识发生走向素养发展，使数学学习成为师生同研共创的美好过程。
（作者单位系江苏省常州市武进清英外国语学校）
内化数学智慧
□ 吴 泽
核心素养的提出，让教育更加清楚地看见了方向，但是学生的数学核心素养到底是什么？又从何而来？在课堂教学中，我们又应该怎样培养呢？
所谓的数学核心素养，不仅仅是关注学生对知识目标与技能目标的掌握，更应该关注学生是否能够用数学的思维方式观察事物、分析社会现象，从而解决现实中的问题，使学生真正形成数学素养。学生的数学素养包括：思考问题的方式是否理性，是否具有发散性思维能力；是否具有创新意识，从不同的角度看待同一事物，用创造性思维解决问题；是否具有稳定的个性心理品质……
数学核心素养来自于学生的思考、质疑。反思是重要的思维活动，是思维活动的核心和动力。好的问题是学生创新意识的萌芽，学生是否能够提出问题，并且提出有价值的问题，必须引起教师的高度重视。教师要善于激发学生的兴趣，引起学生内心的冲突，从而引导学生在“互辩”中寻求最佳方案，使学生的探究意识在“冲突——平衡——再冲突——再平衡”的不断循环和矛盾中得到强化。教师带领学生不断反思，带着这些问题去思考，去探究，不断“咀嚼与回味”，然后进行多角度的观察与联想，从而找到更多的思维通道。这样才能真正提升学生的思维能力，促进学生创新意识的产生。
数学核心素养源于学生是否具有创新意识，是否具有创造性思维能力。许多学生学习数学仅仅是为了做几道题，并未真正产生创新意识。创新意识需要教师在教学过程中充分挖掘学生的内在潜力，充分触及学生的内在动力，从而培养出创造性思维能力。数学的思维方式包括观察、想象、猜想、验证、比较、归纳、抽象、概括等，其中概括是核心。教师引导学生用数学的思维方式进行思考比让学生学会数学知识更重要。学生一旦遇到新情况新问题，能够及时将自己头脑中的认知重新调整和整合，用敏锐的观察力、判断力、想象力，迅速抓住问题的实质，并创造性地解决相应问题。这样才能真正培养出具有创新意识、创新能力的人。
数学核心素养需要学生具有稳定的个性心理品质、坚强的意志力。数学课堂教学是培养学生意志力的重要基地，需要教师真正将课堂还给学生，让学生自主学习，独立思考，自己解决问题，然后经过认真阅读，耐心地反复观察、思考、分析，最终找到最合适的解决方法，通过这样的过程，培养学生独立、认真、仔细、合作、踏实的科学态度和不怕困难、勇于挑战、持之以恒的探究精神。学生的综合实力往往是在问题解决过程中形成的，也只有通过让学生充分感受解决问题的过程，才能够真正丰富学生的情感体验，从而为学生的可持续发展打下坚实的基础。正是有了这种数学体验的过程，学生才能够形成良好的数学学习习惯和稳定的个性心理品质。
总之，培育数学核心素养必须做到以下四句话：让学生经历学习数学的过程，找到学习数学的方法，悟得数学的思想，内化成一种数学的智慧。
（作者单位系四川省绵阳市外国语学校）
走向问题化学习
□ 乔翠琴
核心素养是学生最重要的素养，就数学而言，核心素养绝不是简单的知识与技能的叠加。我认为，落实核心素养的主阵地在课堂。核心素养与课堂之间到底有多远？这一直是我不断探索、求知的问题。
解决问题：回归学习本质
纵观人类社会，无论是思想发展史、社会进步史、技术革新史、数学发展史，无一不是在不断发现问题后解决问题，又在解决问题中发现新问题……周而复始得以发展。而我们的课堂教学往往忽略了这一点，只注重知识的理解、技能的应用，导致学生毫无兴趣，感觉数学学习乏味而无用。所以，回归对问题的探求应是学习的本真。
数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程。主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、构建模型、求解结论、验证结果并改进模型，最终解决实际问题。数学模型搭建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式。数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力。在数学建模过程中，学生能够在问题情境中发现和提出问题；能够针对问题建立数学模型；能够运用数学知识求解模型，并尝试基于现实背景验证模型和完善模型；能够提升应用能力，增强创新意识。
下面通过课堂实例《余弦定理》第一课时导入为例，介绍我在课堂教学中培育学生学科素养的做法。
本节课的目标是通过对三角形边角关系的探究，从向量、解析几何的方法、三角方法等多种途径证明余弦定理；能够应用余弦定理及其推论解决简单的三角问题。
我设置了这样的问题情境：隧道工程设计经常要测算山脚的长度。工程技术人员先在地面选一适当位置A，量出A到山脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC的张角，最后通过计算得到山脚长度BC。同学们，你能解决这个问题吗？这样就把实际问题转化成为数学问题。
改变课堂模式：问题化学习
从教师讲授的课堂转变为以学生学习为中心的课堂，其关键在于“问题化学习”。这就要求教学设计要以学生学习为主线，在课堂给予学生充分的时间发现问题、解决问题。学生在对问题的追寻中顺其自然地形成知识体系：从小范围到大范围，从低结构到高结构，从模块结构到学科结构，甚至跨越学科界限，构建一个完整的知识体系。从而让学生自己体会知识的构建，在问题与问题的解决中认识学习的必要性，密切联系知识与真实世界，主动参与到学习中来。
在等比数列的教学中，我一般先让学生类比等差数列，推导出等比数列性质，并帮助学生寻找等差与等比数列的异同点。在做等比数列的题目时也类比等差数列的解题方法，从而能够解决这两类数列问题。
我希望通过“类比——发现——自悟”的教学流程，引导学生体会类比在数学教学中的三个维度：一维——知识结构上的类比；二维——证明方法上的类比；三维——学生自主的理性思想方法的类比。
这样的教学模式，有利于激发学生的思维，使学生在比较、辨析中掌握类比的思想方法，利于学生学科核心素养的生成。
（作者单位系山西省太原市第十九中学）
在扩展思维中渗透思想
□ 李秋萍
数学核心素养是什么？我认为，在中小学学习阶段，数学核心素养大致包含如下几个方面：数学运算、直观想象、数学建模、数学抽象、数据分析、逻辑推理等。其中，数学运算、逻辑推理是最具有数学特点和功能的最基本的两种素养。
人们在长期的学习中，会受到所学知识的影响，学习深度不同，思维表现也会不同。凡是在数学方面浸润到一定程度的人，都会在数学素养的多个方面有比较突出的表现，比如学数学的人天然对于数字比较敏感，很大程度上可能是得益于数学运算和数据分析方面的影响；学数学的人做事情往往态度严谨，逻辑缜密，这也是在数学学习过程中养成的思维品质和习惯素养。
作为数学教师，只有把数学核心素养放在自己的主阵地——课堂上，渗透在无处不在的数学教学中，才能对学生数学素养的提高产生“随风潜入夜，润物细无声”的影响；始终坚持以课程材料为载体，把培养孩子应该具备的各个方面的素养尽可能地渗透进去，才能达到教育的最大化、最优化。下面，从“怎样付钱”这个小问题入手，谈谈如何在课堂把握课程材料和契机进行数学核心素养培育。
二年级开学不久，就接触到人民币。认识了各种面额的人民币以后，我们就会遇到“怎样付钱”的问题。
如：一支钢笔9元7角，可以怎样付钱？有的家长辅导孩子作业时表示很疑惑，认为：直接给10元钱，让售货员找钱就可以了。为什么搞得那么复杂，非要不多不少刚刚好呢？数学不是要与实际生活相联系吗？这样不是最简便的付钱方案吗？
实际上，在日常生活中，我们买一些小商品，一般都是付给一张面额较大的人民币，等店员找给零钱；若碰到要买稍贵一些的商品，或者吃饭等等，往往直接刷卡就可以了，一切尽在掌控之中。
但是，从数学的角度，学习认识人民币的意义在哪里？“怎样付钱”的问题到底有哪些价值？实际教学中，我是按照以下几个方面处理这个问题的。
首先，“怎样付钱”是一个开放性问题，可以有意识地培养学生个性化思维及创新意识。由于人民币的面额很多，在每种面额的张数不受限制的情况下，可以有较多的组合，从而得出不同的付钱方案。学生可以根据自己对人民币的理解，思考个性化的答案，每个孩子都能参与进来，充分表达自己的想法，心情会感到很放松，不会因为自己与别人不同而显得难为情。所以，教学时要多提醒学生，谁还有不同的付钱方案？
其次，在“怎样付钱”的问题情境中，逐渐培养学生养成有序思考的习惯。要写出所有的付钱方案，学生们就要学会有序思考。通过列表不断调整原有方案，得到新的方案，直至列举出所有方案。学生在列举方案过程中，对有序思考形成一定的认识，知道这种思想的重要性和完整性，同时也体验了一种数学特有的精准全面之美、一种壮丽之美。养成了有序思考的习惯，在今后解决其他问题时，也会自然而然地想到、用到，并会努力尝试一把。
再次，“怎样付钱”还是一种策略问题，可以引导孩子养成统筹考虑、优化解决问题方案的思维方式。“怎样付钱”这个问题的价值在于引导孩子学会从尽可能大的面额思考，才能找到张数最少的最佳方案；然后再依次选择较小面额的人民币，直到成功解决问题。即付一张5元，两张2元，一张5角，一张2角。生活中很多问题的解决都要有策略意识，都和这个问题的解决思想有异曲同工之妙。比如，在玩很多数学游戏时，要想有把握地成为赢家，采取一定的策略很是必要的。
最后，“怎样付钱”是一个操作性与实践性相结合的学习过程，可以培养学生具体的数学活动经验。所谓与生活相关联，主要是指数学问题大多来源于生活，在生活中有相当广泛的应用。虽然，这些问题的解决是为了生活，但从数学的角度来讲，仅仅为了解决生活中的问题就有点浪费资源了。我们总是期望通过解决生活中的问题深化数学应用，扩展数学思维，渗透数学思想，让学生获得更广泛、更具体的数学活动经验。
综上所述，一个数学问题就是一个载体，承载着数学方法，优化着数学策略，蕴含着数学思想，汇集着人们对生活各方面的思考结晶。每一个数学问题，只要用心挖掘，总会在某些方面传递给学生不一样的数学素养。
（作者单位系陕西省西安市高新区第一小学）
