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芝诺悖论的类似例子:一尺之捶,日取其半,万世不竭

芝诺悖论的类似例子:一尺之捶,日取其半,万世不竭

古希腊哲学家芝诺就曾经提出过一些著名的悖论,对以后数学、物理概念产生了重要影响,芝诺悖论就是其中一个。

阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄,传说他的速度可以和豹子相比。在他和乌龟的竞赛中,他的速度为乌龟速度的10倍,乌龟在他前面100米处跑,他在后面追,但他不可能追上乌龟。因为在竞赛中,追者首先必须到达被追者的出发点,当阿基里斯追到100米时,乌龟已经又向前爬了10米,于是,一个新的起点产生了;阿基里斯必须继续追,而当他追到乌龟爬的这10米时,乌龟又已经向前爬了1米,阿基里斯只能再追向那个1米。就这样,乌龟会制造出无穷个起点,它总能在起点与自己之间制造出一个距离,不管这个距离有多小,但只要乌龟不停地奋力向前爬,阿基里斯就永远也追不上乌龟!

中国古人也有相似的例子来表述这个“悖论”,即著名的“一尺之捶,日取其半,万世不竭”。这个句子出自《庄子·天下》,是由庄子提出的。

一尺长的木头,今天取其一半,明天取其一半的一半,后天再取其一半的一半的一半,如此“日取其半”,总有一半留下,所以“万世不竭”。简单地说,每次取一半的话,第一次是1/2,第二次是原长的1/4,第三次是原长的1/8……分子永远是1,分母都是2的平方数,到最终分母虽然会很大,但毕竟不是零,所以说“万世不竭”。一尺之捶是一有限的物体,但它可以被无限地分割下去。

这些结论在实践中是不存在的,但是在逻辑上却无可挑剔。芝诺甚至认为:“不可能有从一地到另一地的运动,因为如果有这样的运动,就会有‘完善的无限’,而这是不可能的。”如果阿基里斯事实上在某个时刻追上了乌龟,那么,“这是一种不合逻辑的现象,因而绝不是真理,而仅仅是一种欺骗”。这就是说感官没有逻辑可靠。他认为:“穷尽无限是绝对不可能的。”芝诺悖论涉及运动学、认识论、数学和逻辑学问题,在历史上引起了长久的思索,至今仍保持着理论上的魅力。

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