函数的图像及其变换

1.函数图像的定义

一般采用描点法绘制函数图像。

2.函数图像的变换

    （1）平移变换

            a.左右平移：将函数y=f(x)的图像向左或向右平移h个单位（h>0）后得到函数y=f(x+h)

        或y=f(x-h)的图像；

            b.上下平移：将函数y=f(x)的图像向上或向下平移k个单位（k>0）后得到函数y=f(x)+k

        或y=f(x)-k的图像；

    （2）伸缩变换

            a.横向伸缩（x方向伸缩，y方向不变）：将函数y=f(x)的图像上所有点的横坐标变为原来

        的倍得到函数的图像；

            b.纵向伸缩（y方向伸缩，x方向不变）：将函数y=f(x)的图像上所有点的横坐标变为原来

        的A倍得到函数y=Af(x)的图像；

    （3）对称变换

            a.关于x轴对称：将函数y=f(x)的图像关于x轴对称得到函数y=-f(x)图像；

            b.关于y轴对称：将函数y=f(x)的图像关于y轴对称得到函数y=f-(x)图像；

            c.关于原点对称：将函数y=f(x)的图像关于原点对称得到函数y=-f(-x)图像；

    （4）翻转变换

            a.沿x轴向上翻转：将函数y=f(x)的图像中在x轴下方的部分沿x轴翻转到x轴上方得到函数

        y=|f(x)|的图像；

            b.沿x轴向下翻转：将函数y=f(x)的图像中在x轴上方的部分沿x轴翻转到x轴下方得到函数

        y=-|f(x)|的图像；

            c.沿y轴向右翻转：将函数y=f(x)的图像中在y轴左侧的部分沿y轴翻转到y轴右侧得到函数

        y=f(|x|)的图像；

            d.沿y轴向左翻转：将函数y=f(x)的图像中在y轴右侧的部分沿y轴翻转到y轴左侧得到函数

        y=f(-|x|)的图像；

    思考：各种变换之间能否交换顺序进行？

注意：

描点法对连续函数只能画出近似图形，描的点越多，图像越精确；

尽管描点法只能画出连续函数的近似图形，但它对于初等数学的精确化研究有着不可估量的作用；

函数的表示方法有列表法、解析法、图像法三种，就函数的表示方法而言，它们彼此独立，都能够独立地表达出函数的三要素，所以，函数图像的变换，归根结底，是一个函数变成了另外的一个函数；

注意图像与解析式是一一对应的，双向的，图像变换即为解析式变换，解析式变换即为图像变换；

所有对x进行的变换，都是对系数为1的x进行的变换；

常见题型：

1.作图题

注意其基本函数即可。

一个函数给出来，注意先求定义域；

平移变换、伸缩变换、翻转变换，注意把x系数化为1；

2.根据模型函数的图像的特征求解解析式问题

注意：关于y轴对称，求一半即可，如只求x正半轴部分；

先向左平移2个单位，求y轴右侧，再将解析式关于y轴对称得到左侧，随后再向右平移两个单位；

注意分段函数写结论时，不连续点的取值一般放在不连续点右边的区间上；

3.函数图像变换问题

熟悉各种变换即可

注意：左右平移和上下平移可以交换顺序；