谁申请谁先垫付，最终由败诉方承担。
《中华人民共和国民事诉讼法》第七十六条 当事人可以就查明事实的专门性问题向人民法院申请鉴定。当事人申请鉴定的，由双方当事人协商确定具备资格的鉴定人;协商不成的，由人民法院指定。当事人未申请鉴定，人民法院对专门性问题认为需要鉴定的，应当委托具备资格的鉴定人进行鉴定。第七十七条 鉴定人有权了解进行鉴定所需要的案件材料，必要时可以询问当事人、证人。鉴定人应当提出书面鉴定意见，在鉴定书上签名或者盖章。第七十八条 当事人对鉴定意见有异议或者人民法院认为鉴定人有必要出庭的，鉴定人应当出庭作证。
经人民法院通知，鉴定人拒不出庭作证的，鉴定意见不得作为认定事实的根据;支付鉴定费用的当事人可以要求返还鉴定费用。第七十九条 当事人可以申请人民法院通知有专门知识的人出庭，就鉴定人作出的鉴定意见或者专业问题提出意见。
各省的费用不一样，笔迹鉴定需要找专门的机构进行鉴定，费用一般在800-2000元之间。笔迹鉴定是根据人的书写技能习惯特征、在书写的字迹与绘画中的反映，来鉴别书写人的专门技术。主要任务是通过笔迹的同一认定检验，证明文件物证上的笔迹是否为同一人的笔迹，证明文件物证上的笔迹是否为某嫌疑人的笔迹。笔迹鉴定不仅能检验正常笔迹，还可以检验书写条件(包括书写姿势、书写工具、衬垫物等)变化笔迹、故意伪装笔迹(包括左手笔迹、尺划笔迹)、摹仿笔迹和绘画笔迹。在同一人用同一支笔书写时，也可以用笔痕特征充实认定书写人的根据。
综上所述，对于笔迹鉴定的申请当然是要由申请者来先行垫付的，就目前来讲我国的诉讼费用都是由败诉方来承担的，而鉴定费用也包括在其中，只有在缴纳了相关费用后才开始进行鉴定，最后由败诉的一方承担相关的费用。
