拐点，又称反曲点，在数学上指改变曲线向上或向下方向的点，直观地说拐点是使切线穿越曲线的点（即曲线的凹凸分界点）。若该曲线图形的函数在拐点有二阶导数，则二阶导数在拐点处异号（由正变负或由负变正）或不存在。在生活中借指事物的发展趋势开始改变的地方（例如：经济运行出现回升拐点）

基本定义

拐点在数学上指改变曲线向上或向下方向的点，直观地说拐点是使切线穿越曲线的点。若该曲线图形的函数在拐点有二次导数，则二次导数必为零或不存在。

在生活中借指事物的发展趋势开始改变的地方（例如：经济运行出现回升拐点）

概述

数学

可以这样通俗的理解拐点，即在a点的左右f ''(x)的正负发生变化的点，f ''(a)异号（由正变负或由负变正）或者不存在。

在数学领域是指，凸曲线与凹曲线的连接点。

拐点定义（根据高等数学同济6版上册第151页）

一般的，设y=f(x)在区间I上连续，x0是I的内点（除端点外的I内的点）。如果曲线y=f(x)在经过点(x0,f(x0))时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点(x0,f(x0))为这曲线的拐点。

凹的充分条件

若曲线y=f(x)(a≤x≤b)的一段，位于其任意一点的切线之上（或之下），则称这个可微分的函数y=f(x)的图形于闭区间[a,b]上是凹（或对应地，凸）的。在假设二阶导函数f"(x)存在的情况下，当a0[或对应地f"(x)<0]成立，为图形是凹（或对应地，凸）的充分条件。

拐点的必要条件：设f(x）在（a,b）内二阶可导，x0∈（a,b），若(x0,f(x0))是曲线y=f(x)的一个拐点，则f‘’（x0)=0。

拐点的充分条件：设f(x）在（a,b）内二阶可导，x0∈（a,b），则f‘’（x0)=0，若在x0两侧附近f‘’(x0)异号，则点(x0,f(x0))为曲线的拐点。否则（即f‘’(x0)保持同号，(x0,f(x0))不是拐点。

当函数图像上的某点使函数的二阶导数为零，且三阶导数不为零时，这点即为函数的拐点。

若函数y=f(x）在c点可导，且在点c一侧是凸，另一侧是凹，则称c是函数y=f(x）的拐点。另外，如果c是拐点，必然有f''(c)=0或者f''(c）不存在；反之则不成立；比如，f(x)=x^4，有f''(0)=0，但是0两侧全是凸，所以0不是函数f(x)=x^4的拐点。

拐点的求法（摘录自高等数学同济5版上册第149页）

可以按下列步骤来判断区间I上的连续曲线y=f(x)的拐点：

⑴求f''(x)；

⑵令f''(x)=0，解出此方程在区间I内的实根，并求出在区间I内f''(x)不存在的点；

⑶对于⑵中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点x0，检查f''(x)在x0左右两侧邻近的符号，那么当两侧的符号相反时，点(x0,f(x0))是拐点，当两侧的符号相同时，点(x0,f(x0))不是拐点。

例如，y=x^3,y'=3x^2,y''=6x，解出x=0时，y'=0,y''=0：y在（负无穷大，0）上为增函数，y''<0，函数曲线为凸函数；y在（0，正无穷大）上为增函数，函数y''>0，函数曲线为凹函数。但y全区间函数为增函数，拐点在这里说明的只是函数曲线凹凸分界点。

生活

在生活中，拐点多用来说明某种情形持续上升一段时间后开始下降或回落。在数学上这句话是错的，这种点叫极值点、稳定点或者叫驻点；所以，有了经济的拐点，房地产的拐点，以及股市的拐点。

其他解释

中国人民大学喻国明教授关于“拐点”的解释

所谓“拐点”，原是高等数学中的一个概念，应用到传媒领域，是指中国媒介改革还存在很大的增量空间。但是，如果按照现行的发展模式、发展框架发展下去而不做变革，这种增量空间就很难得到挖掘。

喻国明认为，挖掘增量空间的方式有两种。一是宏观体制的改革，从体制层面放宽传媒改革的领域。二是媒介传播者自身，要对媒介的“生产方式”、“生产流程”、运营价值链的建构、市场机会点的把握方面有一个全新的整合与操作。

内容简介

它们都曾经是世界上最顶级的金融公司，而且还是百年老店；它们都有深沉的企业文化，有被长期的经营成功所证明的系统化管理理念和管理体系。它们都是经历过无数次风雨洗礼的精英企业……然而当危机来临时，这四家世界金融巨头几乎是在一瞬间，从4300亿美元到80亿美元，市值缩水达4220余亿美元……

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解读这些企业成功的密码，解密它们突然败亡的蛛丝马迹，让普通投资者在风暴来临时能成功规避这些超级飓风的席卷、顶级陷阱的捕捉，让中国的企业在发展中能多一些理性、多一些智慧、多一些应对真正的世界危机的经验，这就是本书出版的初衷。因为，对于这些百年老店的深入了解和学习，是我们打造中国百年老店的必需功课。

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作者简介

孟悟，女，工商管理硕士，旅美作家，广天响石签约作者。先后在美国的财税公司、大学、政府部门等从事过金融财务工作，有大量文学作品发表在《侨报》、《明报》、《多维时报》等美国华文报刊上，着有长篇小说《乔治亚往事》、文集《有一种风景叫行走》等。