“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”（“永远不能够等于A，但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果）的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值A叫做“极限值”（当然也可以用其他符号表示）。

以上是属于“极限”内涵通俗的描述，“极限”的严格概念最终由柯西和魏尔斯特拉斯等人严格阐述。

概念

极限概念更精确地表述为：如果序列x1,x2,...xn,...，当n无穷大时，趋向于某个确定的数值a,则称数a为该序列的极限。记作

历史

极限思想在古希腊的穷竭法和中国古代的割圆术中已经萌芽。在牛顿的微积分中也含有极限思想。但是，直到19世纪初，人们对极限的理解还没有摆脱几何直观。只是到了1821年，法国数学家A.L.柯西才把极限概念建立在算术的基础上。他把极限定义为：若变量的一串数值无限地趋向某一定值时，其差可以随意地小，则该定值称为这一串数值的极限。19世纪70年代，德国的K.魏尔施特拉斯等人在数学分析的算术化过程中，进一步用"ε-N"语言更精确地把极限概念表述为：如果序列x1,x2,...xn,...对于任意给定的无论怎样小的正数ε，总存在一个正整数N，使得当n>N时，不等式ㄧxn-aㄧ<ε恒成立，则称数a为该序列的极限。

极限概念体现了有限与无限的对立统一关系。序列x1，x2，...xn,...是由无限多个有限值组成的，并且在收敛的条件下，存在着有限的极限值。这说明了无限包含着有限，并且在一定条件下，可以向有限转化；另一方面，有限又包含着无限，在一定条件下，可以转化为无限，并通过无限表现自身。这一点在函数f(x)的级数展开式

中得到充分体现。正是有了这一公式，我们才能研究复杂函数的变化情况，以及求无理数的近似值。例如，求自然对数的底e的近似值，就可以利用它的级数展开式

求得。这表明极限概念具有重要的方法论意义。

数列极限

数列的定义

一个定义在正整数集合上的函数yn=f(n)(称为整标函数)，当自变量n按正整数1，2，3…依次增大的顺序取值时，函数值按相应的顺序排成一串数：f(1)，f(2)，f(3)，…，f(n)，…称为一个无穷数列，简称数列。数列中的每一个数称为数列的项，f(n)称为数列的一般项。

数列的极限

如果对于任意给定的正数c，总存在一个正整数N，当n>N时，∣yn－A∣

此定义中的正数c只有任意给定，不等式

才能表达出xn与a无限接近的意思。且定义中的正整数N与任意给定的正数c是有关的，它是随着c的给定而选定的。

函数极限

函数的极值有两种情况：a)：自变量无限增大；b)：自变量无限接近某一定点x0，如果在这时，函数值无限接近于某一常数A，就叫做函数存在极值。

a):自变量趋向无穷大时函数的极限

设函数y=f(x)，若对于任意给定的正数ε(不论其多么小)，总存在着正数X，使得对于适合不等式

的一切x，所对应的函数值f(x)都满足不等式那么常数A就叫做函数y=f(x)当x→∞时的极限，记作： b):自变量趋向有限值时函数的极限

设函数f(x)在某点x0的某个去心邻域内有定义，且存在数A，如果对任意给定的ε(不论其多么小)，总存在正数δ，当0＜＜δ时，＜ε则称函数f(x)当x→x0时存在极限，且极限为A，记：

变量极限

如果对于任意给定的正数C在变量Y变化过程中，总有那么一个时刻，在那个时刻以后，

恒成立，则称变量y变化过程中以常数A极限，记作。

如果在某一变化过程中，变量Y有极限，则变量Y是（局部）有界变量。

无穷大量

已知函数，当x→0时，可知，我们把这种情况称为趋向无穷大。为此我们可定义如下：

设有函数y=，在x=x0的去心邻域内有定义，对于任意给定的正数N(一个任意大的数)，总可找到正数δ，当时，成立，则称函数当时为无穷大量。记为：（表示为无穷大量，实际它是没有极限的）。

无穷小量

以零为极限的变量称为无穷小量。

定义：设有函数

对于任意给定的正数C不论它多么小)，总存在正数N(或正数M)，使得对于适合不等式或的一切x，所对应的函数值满足不等式，则称函数当(或x→∞)时为无穷小量。记作：或。 无穷大量与无穷小量都是一个变化不定的量，不是常量，只有0可作为无穷小量的唯一常量。

无穷大量与无穷小量的区别是：前者无界，后者有界，前者发散，后者收敛于0。

无穷大量与无穷小量是互为倒数关系的。

极限思想

极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。

用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。如果要问：“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科”。