三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形,在数学、建筑学有应用。
常见的三角形按边分有普通三角形(三条边都不相等),等腰三角(腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形);按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等,其中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形。
三角形的基本定义
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的{封闭图形}叫做三角形。三角形的内角和为180度。由 {平面}上的三条直线所围成的图形,叫{平面三角形};由球面上(凹面;凸面)的三条弧线所围成的图形,叫{球面三角形},也叫做{三边形}
分类
按角度分
a.{锐角三角形}:三个角都小于90度 。(其并不是只有一个锐角的三角形,而是三个角都为锐角,比如{等边三角形“也是锐角分别为60度的{三角形}。 并且其3条边上的3条‘高’交于一点。
b.直角三角形(简称 ‘ Rt 三角形 ’):
(1)直角三角形两个锐角‘互余’(‘其之和为90度’之意);
(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;
(3)在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.;
(4)在直角三角形中,如果有一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于30°(和⑶相反);
(5)在直角三角形中,两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即a^2+b^2=c^2(勾股定理);
(6)斜边上的中线是外接圆半径;
(7)有一个角是90度的三角形,夹90度的两边称为“直角边”,直角的对边称为“斜边”。 (非直角三角形也称斜三角形,包括锐角三角形、钝角三角形)。
(8)在直角三角形中,斜边的长度是直角对应的两条直角边的2^1/2倍。
(9)直角三角形的两条高是那两条直角边。
c.钝角三角形:有一个角为钝角的三角形 。钝角三角形有两条高在钝角三角形的外面,钝角为大于90°且小于180°,并有两条高不在三角形里面。
d.正三角形:三个角度数相等(即三角都为60度),三条边也相等,也称等边三角形。
按边长分
a.等腰三角形:两条边相等的三角形。又可分为三条边都相等的等腰三角形,即等边三角形,和只有两条边相等的等腰三角形。普通等腰三角形中,两条相等的边称为“腰”,第三边叫做“底边”,腰对应的角(称为底角)也是相等的。
b.不等边三角形:三条边均不相等的三角形(此解释有误,因为等腰三角形也不是等边三角形,应改为:三条变不均相等的三角形。)。
特殊三角形
面积为零的三角形;退化三角形(‘退化三角形’,按照狭义的三角形定义,其实已经不属于三角形。例如一个内角变化为180度就成为一条线段,但是可以证明“两点之间直线最短”公理)
周长公式
若一个三角形的三边分别为a、b、c,则周长C为
面积公式
1、面积
(面积=底×高÷2。其中,a是三角形的底,h是底所对应的高)注释:三边均可为底,应理解为:三边与之对应的高的积的一半是三角形的面积。这是面积法求线段长度的基础。
2、
(其中,三个角为∠A,∠B,∠C,对边分别为a,b,c。参见三角函数)
3、
( ‘l’为高所在的边的中位线)
4
(海伦公式),其中
5
(其中,R是外接圆半径)
6 (其中,r是内切圆半径)
7 在平面直角坐标系内,A(a,b),B(c,d),C(e,f)构成之三角形面积为
。
A,B,C三点最好按逆时针顺序从右上角开始取,因为这样取得出的结果一般都为正值,如果不按这个规则取,可能会得到负值,但只要取绝对值就可以了,不会影响三角形面积的大小。
8
(正三角形面积公式,a是三角形的边长)
9
(其中,R是外接圆半径;r是内切圆半径)
10
“四线”
1、中线
连接某一个三角形的‘一个顶点及顶点相对应的对边的中点’得到的线段,叫做{三角形的中线}(median)。其有3条。
2、高
从一个顶点向它的对边所在的直线画{垂线},顶点和垂足之间的{线段}的长,叫做{三角形的高}(altitude)。其有3条。
3、三角形的角平分线
在三角形中,其某一个内角的平分线的顶点,与此{被分的角}的顶点重合,在角的两条边中间, 是一条{射线};此上面的实用的点,分别到两条边的距离相等;叫做{角平分线}【另外,数学也有{非三角形的两条线组成的角}的角平分线(bisector of angle)原理一样。其有3条。
4、中位线
三角形的三边中,任意两边的中点,的连线叫{中位线}。它平行于第三边,并且等于第三边的一半。[切记,中位线没有逆定理。]
边、角关系
三角函数,给出了直角三角形中边和角的关系规律,可用来解‘三角形题’;
三角函数,是数学中属于初等函数中,超越函数的一类。(请参考相关词条)。
特殊点、线
‘五心、四圆、三点、一线’:这些都是三角形的全部特殊点,以及基于这些特殊点的相关几何图形。“五心”指重心、垂心、内心、外心和旁心;“四圆”指,内切圆、外接圆、旁切圆和欧拉圆;“三点”指,勒莫恩点、奈格尔点和欧拉点;“一线”即{欧拉线}。
‘五心’的距离:
OH2=9R2–(a2+b2+c2),
OG2=R2–(a2+b2+c2)/9,
OI2=R2–abc/(a+b+c)=R2–2Rr
GH2=4OG2
GI2=(p2+5r2–16Rr)/9,
HI2=4R2-p2+3r2+4Rr=4R2+2r2-(a2+b2+c2)/2,
其中,R是外接圆半径;r是内切圆半径。
三角形的稳定性
在所有平面多边形中,唯三角形具稳定性。(是力学现象,三角形构件不容易被外力改变原来的形状,例如‘铁塔’由许多三角形构成特别坚固)
证明
任取三角形两条边,则两条边的非公共端点被第三条长度固定的边连接:
∵第三条边不可伸缩或弯折
∴两端点距离固定
∴这两条边的夹角被固定而不变
∵这两条边是任取的
∴三角形的三个任意角都得到固定,进而将三角形固定
∴三角形有力学稳定性 (证毕)
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证明“n边形(n≥4)没有稳定性”
任取n边形(n≥4)两条相邻边,则两条边的非公共端点被不止一条边相连接:
∴角的两端点的距离不固定,
∴这两边的夹角不固定,
∴n边形(n≥4)每个角都不固定
∴n边形(n≥4)没有稳定性
(证毕)
作用
三角形的稳定性使其不像四边形那样易于变形,有着稳固、坚定、耐压不容易变形的特点。三角形的结构在工程上有
着广泛的应用。许多建筑都是三角形的结构,如:埃菲尔铁塔,埃及金字塔等等。
有关三角形的定理
中位线定理
中线定理
三角形内角和定理
三边关系定理
勾股定理
射影定理
正弦定理
余弦定理
梅涅劳斯定理
塞瓦定理
莫利定理
共角定理
重心定理
内心定理
旁心定理
欧拉线定理
费尔巴哈定理
拿破仑定理
相关定理:
重心定理
三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.
上述交点叫做三角形的重心.
外心定理
三角形的三边的垂直平分线交于一点.
这点叫做三角形的外心.
垂心定理
三角形的三条高交于一点.
这点叫做三角形的垂心.
内心定理
三角形的三内角平分线交于一点.
这点叫做三角形的内心.
旁心定理
三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.
这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.
三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心.
它们都是三角形的重要相关点.
中位线定理
三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.
三边关系定理
三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.
勾股定理
在Rt三角形ABC中,A≤90度,则
AB·AB+AC·AC=BC·BC
A〉90度,则
AB·AB+AC·AC>BC·BC
梅涅劳斯定理
梅涅劳斯(Menelaus)定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出:如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点,那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。
证明:
过点A作AG∥BC交DF的延长线于G,
则AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。
三式相乘得:AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=1
它的逆定理也成立:若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延长线上,且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1,则F、D、E三点共线。利用这个逆定理,可以判断三点共线。
塞瓦定理
设O是△ABC内任意一点,AO、BO、CO分别交对边于D、E、F,则 BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
证明:
(Ⅰ)本题可利用梅涅劳斯定理证明:
∵△ADC被直线BOE所截,
∴ CB/BD*DO/OA*AE/EC=1 ①
而由△ABD被直线COF所截,∴ BC/CD*DO/OA*AF/BF=1②
②÷①:即得:BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
(Ⅱ)也可以利用面积关系证明
∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③
同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤
③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点:
设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F,
根据塞瓦定理逆定理,因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA)/[(CD*ctgB)]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/
[(AE*ctgB)]=1,所以三条高CD、AE、BF交于一点。
将三角形的三个内角三等分,靠近某边的两条三分角线相交得到一个交点,则这样的三个交点可以构成一个正三角形。这个三角形常被称作莫利正三角形。
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