乘法是算术中最简单的运算之一，是将相同的数加法起来的快捷方式，其运算结果称为积。最简单的是正整数的乘法，即几个相同的数连加的简便算法，用连加的次数来乘被加数。例如2连加5次，就用5来乘。《九九乘法歌诀》，又常称为小九九。现在学生学的小九九口诀，是从一一得一开始，到九九八十一止，而在古代，却是倒过来，从九九八十一起，到二二得四止。因为口诀开头两个字是九九，所以，人们就把它简称为九九。中国使用“九九口诀”的时间较早。在《荀子》、《管子》、《淮南子》、《战国策》等书中就能找到三九二十七、六八四十八、四八三十二、六六三十六等句子。由此可见，早在春秋、战国的时候，《九九乘法歌诀》就已经开始流行了。

来源

乘法是算术中最简单的运算之一。 最早来自于整数的乘法运算。

什么是乘法

乘法是四则运算之一

乘法是指一个数或量，增加了多少倍。例如4乘5，就是4增加了5倍率，也可以说成5个4连加。

“小九九”的由来

《九九乘法歌诀》，又常称为“小九九”。现在学生学的“小九九”口诀，是从“一一得一”开始，到“九九八十一”止，而在古代，却是倒过来，从“九九八十一”起，到“二二得四”止。因为口诀开头两个字是“九九”，所以，人们就把它简称为“九九”。大约到13、14世纪的时候才倒过来像现在这样“一一得一……九九八十一”。

中国使用“九九口诀”的时间较早。在《荀子》、《管子》、《淮南子》、《战国策》等书中就能找到“三九二十七”、“六八四十八”、“四八三十二”、“六六三十六”等句子。由此可见，早在“春秋”、“战国”的时候，《九九乘法歌诀》就已经开始流行了。

名称

“×”是乘号，乘号前面和后面的数叫做因数，“=”是等于号，等于号后面的数叫做积。

10（因数） ×（乘号） 200（因数） =（等于号） 2000（积）

因数也叫乘数。

读法

3×5=15

读作：三乘五等于十五

注意：现行课本中，只说“乘”不说“乘以”。要注意和除法中“除”和“除以”区分。

意义

3×5表示5个3相加。

5x3表示3个5相加。

注意：在如上乘法表示什么中，常把乘号后面的因数做为乘号前因数的倍数。

另：乘法的新意义：乘法不是加法的简单记法

Ⅰ乘法原理：如果因变量f与自变量x1,x2,x3,….xn之间存在直接正比关系并且每个自变量存在质的不同，缺少任何一个自变量因变量f就失去其意义，则为乘法。

用n维空间描述就是，f为自变量为n个相互正交坐标轴上的自原点至xi之间的线段与点(x1,x2,x3,….xn)和这n个线段垂线围成的空间体积。

Ⅱ加法原理：如果因变量f与自变量(z1,z2,z3…,zn)之间存在直接正比关系并且每个自变量存在相同的质，缺少任何一个自变量因变量f仍然有其意义，则为加法。

用n维空间描述就是，自变量为同一坐标轴上的n个自原点至zi之间的线段，f为这n个线段首尾连接的总长度。

以上所说的质是按照自变量的作用来划分的。

此原理是逻辑乘法和逻辑加法的定量表述。

法则

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

定律

整数的乘法运算满足：交换律，结合律， 分配律，消去律。

随着数学的发展， 运算的对象从整数发展为更一般群。

群中的乘法运算不再要求满足交换律。 最有名的非交换例子，就是哈密尔顿发现的四元数群。 但是结合律仍然满足。

1° 乘法交换律：ab=ba ，注：字母与字母相乘，乘号不用写，或者可以写成·。

2° 乘法结合律：（ab）c=a(bc)，

3° 乘法分配律：(a+b)c=ac+bc。

说法

在群上再装备另一种乘法， 则发展成为“环”， 两种乘法中的一种可以视为传统意义上的加法，因此要求满足分配律和交换律；但是另一种“乘法”却不要求交换律。

在环里面，我们不再要求消去律成立。 如果这个环有消去律，就叫做整环。

但是对于环来说， 不一定有“除法”的概念。 如果环有除法的话，就叫做“域”。

域是最接近我们平时所说的有理数集合的东西。 但是它包含了更多信息。

结合律

前面讲的这些代数对象的乘法都满足结合律。 实际上数学发展到后来， 产生了一些不满足结合律的乘法。

最经典的就是所谓的李(Lie)括号

巧算

乘法是数学中基本运算之一。假设a乘b等于c，即记为ab = c或a·b =c。

中国古代利用算筹进行乘法计算。筹算乘法分三层：上位是被乘数，中位是积，下位是乘数。先由乘数的最大一位去乘被乘数，乘完后去掉这位的算筹，再用第二位数去乘，两次之积对应位上的数相加，乘完为止。例如81 × 81，先把乘数和被乘数分别放在上位和下位，如图﹝a﹞。用80去乘81得6480，「8」用完了，便掉去，如图﹝b﹞。再用1去乘81得81加到6480上，即等于6561，「1」亦用完了，便掉去，得图﹝c﹞。

﹝a﹞﹝b﹞﹝c﹞

计算的层次就是把多位数变为用单位数去乘多位数，乘一位加一位，基本原理与现在通用的笔算乘法完全一样，只是使用乘数的次序与现在作法相反。

中世纪，印度流行几种实用而且有趣的乘法。「十字相乘法」是其中一种，印度人称之为闪电似的乘法。例如325 × 478 = 155350

1494年意大利数学家巴切利﹝1445 - 1514﹞介绍了八种乘法。第一种乘法与现在通用的笔算乘法完全一致，第六种就是方格乘法。此法约于十五世纪传入中国，因其图形有如织锦﹝参看下图﹞，故亦称为铺地锦。

若仔细分析上表，﹝甚至可比较「十字相乘法」之算法﹞，则可体会到这些乘法的巧妙之处。

这当中利用了乘法的巧算，比如：12×15=12×10+5×10+2×5

现在人们一般把那些有心计、会算计、善谋划的人形容为心里有“小九九”。

乘法表

乘法表

口诀表

双位乘法

1. 十几乘十几：

口诀：头乘头，尾加尾，尾乘尾。

例：12×14=？

解: 1×1=1

2+4=6

2×4=8

12×14=168

16×16=256

1×1=1

6+6=12

6×6=36

1

+12

+ 36

=256

注：个位相乘，不够两位数要用0占位。

2. 头相同，尾互补(尾相加等于10)：

口诀：一个头加1后，头乘头，尾乘尾。

例：23×27=?

解：2+1=3

2×3=6

3×7=21

23×27=621

注：个位相乘，不够两位数要用0占位。

3. 第一个乘数互补，另一个乘数数字相同：

口诀：一个头加1后，头乘头，尾乘尾。

例：37×44=?

解：3+1=?

4×4=16

7×4=28

37×44=1628

注：个位相乘，不够两位数要用0占位。

4. 几十一乘几十一：

口诀：头乘头，头加头，尾乘尾。

例：21×41=?

解：2×4=8

2+4=6

1×1=1

21×41=861

5. 11乘任意数：

口诀：首尾不动下落，中间之和下拉。

例：11×23125=?

解：2+3=5

3+1=4

1+2=3

2+5=7

2和5分别在首尾

11×23125=254375

注：和满十要进一。

6.十几乘任意数：

口诀：第二乘数首位不动向下落，第一因数的个位乘以第二因数后面每一个数字，加下一位数，再向下落。

例：13×326=?

解：13个位是3

3×3+2=11

3×2+6=12

3×6=18

13×326=4238

注：和满十要进一。

7.首数是五的两个数

口诀：头乘头加尾之和的一半为前积，尾乘尾为后积。

例：53×54=？

解：5×5=25

25+（3+4）÷2=28.53×4=12

53×54=2862

注：满十进位

8.首同尾互补

口诀：头乘头加尾为前积，尾乘尾为后积。

例：42×62=？

4×6+2=26

2×2=4

42×62=2604

9.首位为九

口诀：一数减另一补数为前积，两补数积为后积。

例：93×98=？

93-2（98的补数）=91

7（93的补数）×2（98的补数）=14

93×98=9114

注：两补数的积是一位数时，前面加0顶位。