分式，形如A/B，A、B是整式，B中含有字母且B不等于0的式子叫做分式。一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母（B≠0），那么式子A / B 就叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母。分式是不同于整式的另一类式子。分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零，因此要将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则是方程的解。

概念

定义

形如 A/B（A、B是整式，B中含有字母）的式子叫做分式。其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。

注意：判断一个式子是否是分式，不要看式子是否是A/ B的形式，关键要满足：分式的分母中必须含有字母，分子分母均为整式。无需考虑该分式是否有意义，即分母是否为零。

由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性。

方法：数看结果，式看形。

分式条件

1.分式有意义条件：分母不为0。

2.分式值为0条件：分子为0且分母不为0。

3.分式值为正(负)数条件：分子分母同号得正，异号得负。

4.分式值为1的条件：分子=分母≠0。

5.分式值为-1的条件：分子分母互为相反数，且都不为0。

代数式分类

整式和分式统称为有理式。

带有根号且根号下含有字母的式子叫做无理式。

无理式和有理式统称代数式。

分式的基本性质

分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。用式子表示为：

（A,B,C为整式，且B、C≠0）

运算法则

约分

根据分式基本性质，可以把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。约分的关键是确定分式中分子与分母的公因式。

约分步骤：1.如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去。

2.分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。

公因式的提取方法：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式。

最简分式：一个分式不能约分时，这个分式称为最简分式。约分时，一般将一个分式化为最简分式。

通分

根据分数的基本性质，异分母的分数可以通分，使几个分数的的分母相同；同样，根据分式的基本性质，分式也可以进行类似的变形，使几个异分母分式的分母相同，而分式的值不变。

通分：把几个异分母分式分别化为与原分式值相等的同分母分式，叫做分式的通分。它与约分是互逆运算。

通分步骤：先求出所有分式分母的最简公分母，再将所有分式的分母变为最简公分母。同时各分式按照分母所扩大的倍数，相应扩大各自的分子。

最简公分母的确定方法：系数取各因式系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂及单独字母的幂的乘积。

同分母加减

同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减。用字母表示为：

。

异分母加减

异分母的分式相加减，通分化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。用字母表示为：

。

乘法

两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。用字母表示为：

。

除法

两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘：

。

也可表述为：除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数。

乘方

分子乘方做分子，分母乘方做分母，可以约分的约分，最后化成最简：

。

分式方程

基本简介

分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

解法介绍

初二数学,分式方程(免费)科科通按课文顺序北师大版吕文华.flv

①去分母{方程两边同时乘以最简公分母（最简公分母：①系数取最小公倍数；②出现的字母取最高次幂；③出现的因式取最高次幂），将分式方程化为整式方程；若遇到互为相反数时。不要忘了改变符号}；

②按解整式方程的步骤（移项，若有括号应去括号，注意变号，合并同类项， 系数化为1）求出未知数的值；

③验根（求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根）。

一般地验根，只需把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根，否则这个根就是原分式方程的根。若解出的根是增根，则原方程无解。

如果分式本身约分了，也要代进去检验。

基本步骤

（1）设未知数：若把题目中要求的未知数直接用字母表示出来，则称为直接设未知数，否则称间接设未知数；

（2）列代数式：用含未知数的代数式把题目中有关的量表示出来，必要时作出示意图或列成表格，帮助理顺各个量之间的关系；

（3）列出方程：根据题目中明显的或者隐含的相等关系列出方程；

（4）解方程并检验；

（5）写出答案。

在列分式方程解应用题时，不仅要检验所的解是否满足方程式，还要检验它是否符合题意。

一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零，因此要将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则是方程的解。

分式方程及其应用举例

例1：解方程（1）x/(x+1）=2x/（3x+3）+1

两边乘3(x+1）去分母得

3x=2x+（3x+3）

3x=5x+3

2x=-3

∴x=-3/2

经检验，x=-3/2是原方程的解

（2）2/（x-1）=4/（x^2-1）

两边乘（x+1）(x-1）去分母得

2(x+1）=4

2x+2=4

2x=2

∴x=1

检验 ：把x=1带入原方程，使分母为0，是增根。

故原方程2/（x-1）=4/（x^2-1 ）无解 。

（3）2x-3+1/(x-5)=x+2+1/(x-5)

两边同时减1/（x-5)，得x=5

代入原方程，使分母为0，所以x=5是增根

即方程无解！

检验：把x=a 带入最简公分母，若x=a使最简公分母为0,则a是原方程的增根。若x=a使最简公分母不为零, 则a是原方程的根。

归纳：解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程

两边同乘最简公分母，这也是解分式方程的一般思路和做法。 检验格式：把x=a 带入最简公分母，若x=a使最简公分母为0，则a是原方程的增根.若x=a使最简公分母不为零，则a是原方程的根。

当然我们可凭经验判断是否有解。若有解，代入所有分母计算：若无解，代入无解分母即可。

例2：（2010湖南邵阳）小明离家2.4千米的体育馆看球赛，进场时，发现门票还放在家中，此时离比赛还有45分钟，于是他立即步行（匀速）回家取票，在家取票用时2分钟，取到票后，他马上骑自行车（匀速）赶往体育馆。已知小明骑自行车从家赶往体育馆比从体育馆步行回家所用时间少20分钟，骑自行车的速度是步行速度的3倍。

（1）小明步行的速度（单位：米/分钟）是多少？

（2）小明能否在球赛开始前赶到体育馆？

【解析】（1）设步行的速度为x米/分钟，则骑自行车的速度为3x米/分钟。

解得x=80，3x=240依题意得（2400╱x）-（2400╱3x）=20

经检验，x=80是原方程的根。

答：小明步行的速度是80米/分钟。

（2）来回家取票总时间为：

（2400╱x）+（2400╱3x）+2=42分钟<45分钟

所以他能在球赛开始前赶到体育馆。

答：小明能在球赛开始前赶到体育馆。