子集，是对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，也说集合A是集合B的子集。如B包含A，说明A是B的子集；或如A包含于B，也说明A是B的子集。如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，而集合B中至少有一个元素不属于集合A，则称集合A是集合B的真子集。空集是任何集合的子集。任何一个集合是它本身的子集.空集是任何非空集合的真子集。

定义

对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，也说集合A是集合B的子集。

性质

空集是任何集合的子集。

举例说明

任何一个正偶数都是自然数。就是说，正偶数集E的任何一个元素都是自然数集N的一个元素。 　　

对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集。 　　

记作：A B 　　　

读作“A含于B”（或B包含A）。例如，上述的 　　如果A是B的子集，但A中至少有一个元素不属于B，那么A就是B的真子集，可记作 　　

读作“A不含于B”（或“B不包含A”）。

分类

命题 1：空集是任意集合的子集。 　　

证明：给定任意集合 A，要证明Φ是 A 的子集。这要求给出所有Φ的元素是 A 的元素；但是，Φ没有元素。 　　

对有经验的数学家们来说，推论 "Φ没有元素，所以Φ的所有元素是 A 的元素" 是显然的；但对初学者来说，有些麻烦。 因为Φ没有任何元素，如何使"这些元素"成为别的集合的元素？ 换一种思维将有所帮助。 　　

为了证明Φ不是 A 的子集，必须找到一个元素，属于Φ，但不属于 A。 因为Φ没有元素，所以这是不可能的。因此Φ一定是 A 的子集。 　　这个命题说明：包含是一种偏序关系。 　　

命题 2：若 A，B，C 是集合，则： 　　

自反性: A A 　　

反对称性: A B 且 B A 当且仅当 A = B 　　

传递性: 若 A B 且 B C 则 A C 　　

这个命题说明：对任意集合 S，S 的幂集按包含排序是一个有界格，与上述命题相结合，则它是一个布尔代数。 　　

命题 3：若 A，B，C 是集合 S 的子集，则： 　　

存在一个最小元和一个最大元： 　　Φ A S (that Φ A is Proposition 1 above.) 　　

存在并运算: 　　A A∪B 　　若 A C 且 B C 则 A∪B C 　　

存在交运算: 　　A∩B A 　　若 C A 且 C B 则 C A∩B 　　

这个命题说明：表述 "A B " 和其他使用并集，交集和补集的表述是等价的，即包含关系在公理体系中是多余的。 　　

命题 4: 对任意两个集合 A 和 B，下列表述等价： 　　A B 　　A ∩ B = A 　　A ∪ B = B 　　A B = 　　B′ A′

注意问题　

谈起子集，特别要注意的是空集，记住空集是任何集合的子集，而不是任何集合的真子集,如空集就不是空集的真子集，故空集是任何非空集合的真子集。然后要知道，如果一个集合的元素有n个，那么它的子集有2的n次方个（注意空集的存在），.非空子集有2的n次方减1个，真子集有2的n次方减1个，非空真子集有2的n次方减2个。