阿罗意识到,所谓形成社会福利函数,就是在已知社会所有成员的个人偏好次序的情况下,通过一定的程序,把各种各样的个人偏好次序归结为单一的社会偏好次序。这是否总能做到呢?阿罗用较高深的数学证明,在能被一般人接受的条件下,这是不可能做到的,下面举例加以说明
考虑这样一个社会,其中包括三个人,分别用1、2和3代表。这三个人在三种社会状态a、b和c之间进行选择。假定每一个人在各种社会状态上的偏好都是严格的,即有人在任意两个状态之间感到无差异。每个人的偏好都具有“传递性”,即如果他偏好甚于b,偏好b又基于で,那么,他必然会偏好a甚于c。在这里,我们把某个人的某个特定的偏好次序记为(a,b,c),i=1,2,3、表示第i个人偏好a甚于b、偏好b又甚于c。意味着下述三个成对的偏好次序,即(a,bの)。、(a,c)、(b,c)。一个特定的社会偏好次序表示为[a,b,c]、它意味着社会偏好a甚于b、偏好又甚于c・即包括三个成对的社会好次序:[a,b]、[a,c]、[b,c]。现在假定单个人的偏好次序分別为(a,b,c)、(b,C,a)2(c,a,b)2,并按照这些偏好对每一对可能的社会状态进行投票;社会的偏好次序则按“多数规则”从这些单个人投票中得出。
首先对a和b两种社会状态进行投票。根据上面假定的单个人偏好次序,投票结果应为:
(a,b)1、(b,a)2、(a,b)
其次考虑社会状态b和c。我们有:
(b,c)1、(b,c)2、(c,b)3
(a,c)1、(c,a)2、(c,a)
于是,整个投票结果是:社会偏好a甚于b、偏好b甚于c、偏好c甚于a!显而易见,所谓的“社会偏好次序”包含有内在的矛盾，因为它缺乏次序的基本要求，即“传递性”。如果具有“传递性”,那么,当社会偏好a甚于b、偏好b又甚于c时,就应偏好a甚于c。因此,在上述给定的具有“传递性”的单个人偏好类型中,按照投票的大多数规则,不能得出合理的社会偏好次序。换句话说,此时不存在社会福利函数。
上面是就某一种特定的个人偏好类型,即相互冲突的(a,b,c)、(b,c,a)2和(c,a,D)说明投票的大多数规则不能形成社会的偏好次序。这当然不是说,在任何情况下都不能从个人偏好次序形成社会偏好次序。恰好相反,如果我们重新给定个人的偏好类型,或者改变大多数规则,则完全有可能形成社会的偏好次序。例如,如果我们用“独裁”规则代替大多数规则,则独裁者的个人偏好就成为“社会”的偏好;又例如,如果我们用完全一致的个人偏好类型代替上述相互冲突的类型,例如,假设个人偏好为:
(a,b,c)、(a,b,)2、(a,b,c)2
但是,上述两种情况存在很大局限性。“独裁”规则可以从任何的个人偏好类型中形成“社会”的偏好次序,但这样形成的“社会”偏好次序并不能真正地反映社会的偏好。假定个人偏好类型完全一致也是完全不现实的。社会福利函数应当适用于所有类型的个人偏好情况,面不应仅仅适用于完全一致的情况。但是,就一般情况而言,我们有阿罗的不可能性定理。
在非独裁的情况下,不可能存在有适用于所有个人偏好类型的社会福利函数
