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举例说明什么是直接证明法和间接证明法

1.直接证明

假定 p 为真,通过使用公理或已证明的定理以及正确的推理规则证明 q 也为真,以此证明蕴含式 p → q 为真。这种证明方法为直接证明法。

例1 用直接证明证明“若 p 是偶数,则 p 2 是偶数”。

证明:假定 p 是偶数为真,设 p =2 k ( k 为整数)。由此可得, p 2 =2(2 k 2 )。因此, p 2 是偶数(它是一个整数的2 倍)。

2.间接证明

因为蕴含式 p → q 与其逆否命题¬ q →¬ p 等价,因此可以通过证明¬ q →¬ p 来证明蕴含式 p → q 为真。这种证明方法为间接证明法。

例2 用间接证明证明“若 p 2 是偶数,则 p 是偶数”。

证明:假定此蕴含式后件为假,即假定 p 是奇数。则对某个整数 k 来说有 p =2 k +1。由此可得 p 2 =4 k 2 +4 k +1=2(2 k 2 +2 k )+1,因此, p 2 是奇数(它是一个整数的2 倍加1)。因为对这个蕴含式后件的否定蕴含着前件为假,因此该蕴含式为真。

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