本书严格按照最新版“全国硕士研究生招生考试数学(二)考试大纲”进行编写,根据“数学(二)”的考试科目分为高等数学、线性代数两部分,对每一章节的知识点都进行详细地阐述,紧扣考试大纲,突出重点难点,指导考生快速掌握知识点,轻松应考。
第1部分 高等数学
第1章 函数、极限、连续
一、函数
1.函数的概念
设数集
,则称映射
为定义在D上的函数,简记为
,其中x称为自变量,y称为因变量,D称为定义域.记作
,即
.函数值
的全体所构成的集合称为函数
的值域,记作
或
,即
.
2.函数的表示法
表格法、图形法、解析法(公式法)
二、函数的性质
1.有界性
(1)上界:若
,对
,有
,则称函数
在I上有上界,而
称为函数
在I上的一个上界.
(2)下界:若
,对
有
,则称函数
在I上有下界,而
称为函数
在I上的一个下界.
(3)有界:若对
,
,总有
,则称
在I上有界.
2.单调性
(1)单调递增:当
时,
.
(2)单调递减:当
时,
.
3.周期性
(1)定义:
(
为正数).
(2)最小正周期:函数所有周期中最小的周期称为最小正周期.
4.奇偶性
的定义域关于原点对称,则:
(1)偶函数:
,图形关于
轴对称.
(2)奇函数:
,图形关于原点对称.
三、特殊函数
1.复合函数
形如
(其中
2.分段函数
对于自变量
的不同取值范围,对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数.
3.反函数
(1)定义
设函数
是单射,则它存在逆映射
,映射
称为函数
的反函数.
(2)性质
①当
在
②当
在
③
的图像和
的图像关于直线
对称.
4.隐函数
如果变量
满足一个方程
,在一定条件下,当
取区间I任一值时,相应地总有满足该方程的唯一的
存在,则称方程
在区间I确定了一个隐函数.
四、初等函数
1.基本初等函数的性质和图像
(1)幂函数
①表达式:
;
②定义域:使
有意义的全体实数构成的集合;
③单调性:
a.当n>0时,图象过点(0,0)和(1,1),在区间
上是增函数;
b.当n<0时,图象过点(1,1),在区间
上是减函数.
(2)指数函数
①表达式:
;
②定义域:R;
③值域:
;
④过定点:(0,1);
⑤单调性:
a.当
时,
在R单调递增;
b.当
时,
在R上单调递减.
⑥图像
图1-1 指数函数图像
(3)对数函数
①表达式:
;
②定义域:
;
③值域:R;
④过定点:(1,0);
⑤当
时,
;
⑥单调性: