映射，指两个元素的集之间元素相互“对应”的关系，为名词；亦指“形成对应关系”这一个动作，动词。“映射”或者“投影”，需要预先定义投影法则部分的函数后进行运算。因此“映射”计算可以实现跨维度对应。相应的微积分属于纯数字计算无法实现跨维度对应，运用微分模拟可以实现本维度内的复杂模拟。映射可以对非相关的多个集合进行对应的近似运算，而微积分只能在一个连续相关的大集合内进行精确运算。映射，或者射影，在数学及相关的领域经常等同于函数。基于此，部分映射就相当于部分函数，而完全映射相当于完全函数。在很多特定的数学领域中，这个术语用来描述具有与该领域相关联的特定性质的函数，例如，在拓扑学中的连续函数，线性代数中的线性变换等等。在形式逻辑中，这个术语有时用来表示函数谓词（Functional predicate），在那里函数是集合论中谓词的模型。

基本简介

通常情况下，映射一词有照射的含义，是一个动词。在数学上，映射则是个术语，指两个元素集之间元素相互“对应”的关系，名词；也指“形成对应关系”这一个动作，动词。数学基本概念之一，通常函数概念的推广。又称映照。数学含义l．映射是近、现代数学中的一个非常重要的概念，其思想也渗透于整个中学数学教材之中。实际上，在高中提出映射的概念，并不只是为了加深对函数概念的理解，而更重要的是要揭示一些不同概念之间的内在联系，以加深对它们的认识，例如，数轴上的点与其坐标，平面内的封闭图形与其面积，某种排列问题中的排列的集合与其排列数，某种随机事件的集合与其发生的概率等，在它们之间实际上是一种映射关系。于是在映射的观点之下，一些看上去很不相同的研究对象之间的联系被揭示了出来。 2．映射与前面学习的集合有着密切的关系，事实上，映射是两个集合中的一种特殊的对应关系，即如果按照某种对应法则，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有惟一的元素与它对应，那么这样的对应（包括对应法则）叫做集合A到集合B的映时。 3．我们知道，对应包括“一对多”、“多对一”、“一对一”等情况，而映射是“象”惟一的这种特殊的对应，它包括“多对一”、“一对一”等情形，但应注意的是，映射不一定是“满射”。至于一一映射，它则是一种特殊的映射，应该指出，—一映射在数学中有着特殊重要的意义，对很多问题的研究都是通过—一映射将问题转化，并获得解决的。例如平面解析几何中通过点到数对的一一映射将几何问题化成代数问题解决，通过“取对数”的—一映射将数的乘除运算转化为加减运算等等。在本章中介绍反函数时，实际上也要用到一一映射的概念，可见，学习映射（特别是—一映射）的概念，对理解、掌握整个高中数学内容有着重要作用。 4．映射的概念是一个教学难点，教学时，建议：（l）把握教学要求，即让学生了解映射概念的意义，以后会用它去理解函数的概念，而不要求背诵映射的定义。（2）由于映射的概念较为抽象，要多结合实例进行讲解。（3）在后续学习中，结合相关内容不断复习，深化映射的概念。

举例说明

设Ａ和Ｂ是两个非空集合，Ｆ是一个法则，如果对Ａ中任一元素ｘ，依照法则Ｆ,Ｂ中有某一元素Ｙ与Ｘ相对应，就称Ｆ为一个从Ａ到Ｂ的映射。例如，Ａ＝｛1,2,3｝Ｂ＝｛2,4,6,8,10｝如果Ｆ使1与2对应，2与4对应，3与6对应，那么Ｆ是Ａ到Ｂ的一个映射。又如，Ａ表示平面上所有三角形的集合，Ｂ表示这个平面上所有圆的集合，Ｆ使任一个三角形与它的内切圆对应 ，那么Ｆ也是Ａ到Ｂ的一个映射。常用记号Ｆ：Ａ→Ｂ表示从Ａ到Ｂ的映射，Ａ称为映射的定义域。为了表示元素Ｘ的对应元素Ｙ，常记为Ｙ＝Ｆ(x)，并称Ｙ为Ｘ在映射Ｆ之下的像。所有的像组成的集合是B的一个子集，称为值域，或称像域。

特殊映射

如果一个从A到B的映射，使A中任意两个不同元素在B中的像也不同，则这种映射称为单射；如果一个从A到B的映射 ，使B中每个元素都是A中元素的像，则这种映射称为满射；即是单射又是满射的映射称为双射。双射也称为一一映射。如果A，B都是数集，则f：A→B就是通常意义下的函数。在现代数学中，对映射与函数不加区分，它们是完全相同的概念。

应用举例

按照映射的定义，下面的对应都是映射。 　　

⑴设A={1,2,3,4}，B={3,5,7,9}，集合A中的元素x按照对应关系“乘2加1”和集合Ｂ中的元素2x+1对应，这个对应是集合A到集合B的映射。 　　

⑵设A=N*，B={0,1}，集合A中的元素按照对应关系“x除以2得的余数”和集合B中的元素对应，这个对应是集合A到集合B的映射。 　　

⑶设A={x|x是三角形}，B={y|y>0}，集合A中的元素x按照对应关系“计算面积”和集合B中的元素对应，这个对应是集合A到集合B的映射。 　　

⑷设A=R，B={直线上的点}，按照建立数轴的方法，是A中的数x与B中的点P对应，这个对应是集合A到集合B的映射。 　　

⑸设A={P|P是直角坐标系中的点}，B={(x,y)|x∈R,y∈R}，按照建立平面直角坐标系的方法，是A中的点P与B中的有序实数对(x,y)对应，这个对应是集合A到集合B的映射。

具体特征

映射是数学中描述了两个集合元素之间一种特殊的对应关系的。 　　

映射在不同的领域有很多的名称，它们的本质是相同的。如函数，算子等等。这里要说明,函数是两个数集之间的映射，其他的映射并非函数。 　　

一一映射(双射)是映射中特殊的一种，即两集合元素间的唯一对应，通俗来讲就是一个对一个（多对一）。

(由定义可知,图1中所示对应关系不是映射,而其它三图中所示对应关系就是映射。) 　　

或者说,设A B是两个非空的集合,如果按,某一个确定的对应关系f.使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个函数。 　　

映射的成立条件简单的表述就是下面的两条： 　　

1、定义域的遍历性：X中的每个元素x在映射的值域中都有对应对象； 　　

2、对应的唯一性：定义域中的一个元素只能与映射值域中的一个元素对应； 　　

映射分类

映射的不同分类是根据映射的结果进行的，从下面的三个角度进行： 　　

1、根据结果的几何性质分类：满射（到上）与非满射（内的）； 　　

2、根据结果的分析性质分类：单射（一一的）与非单射； 　　

3、同时考虑几何与分析性质：满的单射（一一对应）。 　　

注：右图中（1）不是A到B的映射，（2）（3）（4）都是A到B的映射。

元素关系

集合AB的元素个数为m,n, 那么,从集合A到集合B的映射的个数为n的m次。

函数映射

函数和映射，满映射和单映射的区别，函数是数集到数集映射，并且这个映射是“满”的。 即满映射f: A -> B是一个函数，其中原像集A称做函数的定义域，像集B称做函数的值域。“数集”就是数字的集合，可以是整数、有理数、实数、复数或是它们的一部分等等。 　　

“映射”是比函数更广泛一些的数学概念，它就是一个集合到另一个集合的一种确定的对应关系。即，若f是集合A到集合B的一个映射，那么对A中的任何一个元素a，集合B中都存在唯一的元素b与a对应。我们称a是原像，b是像。写作f: A -> B，元素关系就是b = f(a). 　　

一个映射f: A -> B称作“满”的，就是说对B中所有的元素，都存在A中的原像。 　　

在函数的定义中不要求是满射，就是说值域应该是B的子集。（这个定义来源于一般中学中的讲法，实际上许多数学书上并不一定定义函数是满射。） 　　

象集中每个元素都有原象的映射称为满射 ： 即B中的任意一元素y都是A中的原像，则称f为A到B上的满射，强调f(A)=B（B的原像可以多个）； 　　

原象集中不同元素的象不同的映射称为单射 ： 　　

若A中任意两个不同元素x1≠x2,它们的像f(x1)≠f(x2)，则称f为A到B的单射，强调f(A)是B的真子集

单射和满射可共同决定为一一双射。