级数理论是分析学的一个分支；它与另一个分支微积分学一起作为基础知识和工具出现在其余各分支中。二者共同以极限为基本工具，分别从离散与连续两个方面，结合起来研究分析学的对象，即变量之间的依赖关系──函数。级数在逐项取绝对值之后就成为正项级数，显然可以依一致收敛性进行比较，特别是用一个常数级数进行比较，便有M判别法。逐项积分定理 设函数级数级数在有限闭区间α≤x≤b上一致地收敛。这个形式的级数，作为幂级数的推广，其收敛问题的分析仍旧可以利用N.H.阿贝尔在研究幂级数的收敛问题时所引进的部分求和法。

函数

如果级数的每一项依赖于一个连续变量x，un=un(x),x在一个区间α≤x ≤b上变化，这个级数就成为一个函数项级数，简称函数级数，记为

这里x的值自然被分成两类C和D,使得当x属于C时级数收敛，当x属于D时级数发散。几何级数∑rn事实上就是一个函数级数,它的收敛范围是一个区间(－1<1)。微分学里的泰勒级数代表着一类函数级数，形如

称为幂级数。这种级数，作为几何级数的一种推广，其收敛范围C仍然是一个区间（以x=x0为中心,带或不带端点，有限或无限，或退化成一点）。这种级数,当x换成复变量z之后,成为研究复变函数的一个基本工具（见复变函数论）。积分学里的傅里叶级数代表着另一类函数级数，形如

称为三角级数。这种级数是研究实变函数的一个重要工具，它们的收敛范围一般很复杂，对它们的研究促使了G.（F.P.）康托尔创建集合的基础理论（见实变函数论、傅里叶分析）。

一般说来，一个函数级数的和函数，作为一个无限项的和，不是在它的整个收敛集C上，而是只在C的某种带有限制的部分C1上，才像一个有限项的和。下面试从C的某一点x出发来看级数(15)的收敛性。这级数在这一点x处收敛，就是说，它的部分和sm(x)收敛到一个和数s(x)，也就是说：对于任意一个正数级数都有只要m充分大。这个不等式还可能对于C的其他一些点x也成立。如果这个不等式在C的某一部分C1上处处成立，这就意味着sm(x)这个函数在集合C 1上一致地近似于s(x)这个函数,精确度（处处）在级数以内。而如果这在C1上对于每一个正数级数都成立只要m充分大,那就意味着这一序列函数sm(x),或者就说是函数级数∑un(x)本身,在C1上一致地无限逼近于函数s(x),或者简单地说, sn(x)一致地收敛到函数s(x)。这样，原来的收敛概念，在与函数概念结合之后，就发展成为适合于函数级数的一种收敛概念。

一致收敛

一个函数级数级数说是在一个集合C1上一致地收敛到它的和函数s(x)，是指对于每一个正数级数都存在一个自然数N（不依赖于x），使得当m>N 时

对于一切属于C1的x都成立。

这时级数的和函数s(x)，作为一个无限项的和，便可在整个集合C1上通过特征性质继承有限项和的一些分析性质。

逐项积分定理 设函数级数级数在有限闭区间α≤x≤b上一致地收敛。于是，若级数的各项都连续,则级数的和也连续并且可以逐项积分

关于逐项微分，没有直接类似的定理（因为一致小的函数rm(x)的导数可以任意大）;但是通过微分与积分的互逆关系（微积分基本定理）能够把上述定理转变成逐项微分的形式。

逐项微分定理

设函数级数级数在区间α

级数在逐项取绝对值之后就成为正项级数，显然可以依一致收敛性进行比较，特别是用一个常数级数进行比较，便有M判别法。 M判别法设函数级数 级数在一集合C1上受常数级数级数控制：

于是，若级数收敛，则级数在C1上一致收敛。

函数的展开

一个函数级数在其收敛范围内代表一个函数，即它的和：当和函数未给定时，级数是定义这函数的一种方式；当和函数已给定时，级数是揭示这函数依赖于基本变量的规律的一种方式──函数的级数展开。微积分在创建的初期通过形式处理得到了许多初等函数的级数展开，最重要的有

但只是到了（约 200年之后）一致收敛概念明确的时候才证实，这种幂级数展开在收敛区间内可以逐项微分和积分并且收敛（区间的）半径r不变（在前三个中 r=1，后三个中r=∞,而第一个当α 为零或正整数时化为多项式因而也有r=∞）。这时人们才严密地证明了,幂级数在其收敛区间内能够完全代表它的和函数参加分析运算。于是可以逐项微分任意多次，所以这幂级数本身就是它的和函数在收敛区间中心处的泰勒级数，因而是唯一的。据此，一个泰勒级数的系数不一定要单纯通过累次微分级数而可以通过某些幂级数的分析运算来求得。这就使人们能够补充基本展开表(22)中所缺少的相当于tanx的展开，它不能像反三角函数那样通过逐项积分得到(因为没有现成的幂级数展开作出发点)，也不能象其他基本初等函数那样通过直接求累次微分得到（因为微分次数越多计算越复杂）。利用幂级数展开的唯一性便可严密地证明：

式中B2n是伯努利数，确定于展开式

至于三角级数展开式的唯一性，则像它的收敛集一样复杂，成了三角级数理论研究的一个基本问题。

函数的级数展开具有如下共同的形式：

这个形式的级数，作为幂级数的推广，其收敛问题的分析仍旧可以利用N.H.阿贝尔在研究幂级数的收敛问题时所引进的部分求和法。

部分求和法

设级数，则有恒等式

这个方法（类似于分部积分法）立即给出：

① 级数(25)在一个集合 C1上一致收敛的一组充分条件是,级数∑αn收敛而序列vn(x)在C1上一致有界并且处处单调。

② 级数(25)在一个集合 C 1上一致收敛的一组充分条件是，级数∑αn有界而序列vn(x)在C1上一致收敛到0并且级数

在C1上一致收敛。

这两个结果都是莱布尼茨交错级数定理的推广。

广义收敛

收敛概念的近代发展。

渐近

在所考虑的问题只需注意基本变量 x充分大的情形，相当于过程x→+∞，这里函数的级数展开就要依级数的幂来进行，而展开的意义在于每增加一项就要有一项的效果（α→0当x→+∞）：

m=1,2,3,…。这时,在xy坐标平面内,这一序列部分和sm(x)作为函数，其代表曲线y=sm(x)都是原来函数y= (x)的渐近线（直的或曲的），每一个比前一个更切近于曲线y= (x)。因此，采用H.庞加莱的用语就是，级数级数是一个渐近级数，渐近地代表着函数 (x)。通常把这简记为

这样的渐近级数虽然往往是发散的，但仍可以代替它所渐近表示的函数参加四则运算，只要作为除数的级数的常数项不为0；也可以逐项微分,只要函数的导函数 ′(x)确实具有渐近展开；还可以逐项积分,只要把形式关系

理解为因此渐近级数可以（通过待定系数法）用于求解微分方程。当然，在原来意义下可用于近似计算，例如斯特林公式

中的级数虽是发散的却是渐近的（式中的Bn就是式(24)中的伯努利数），只需取前几项就能够算得（准确到小数点后10位的）近似值：

lg(1000!)=2567.…。

发散

最早的函数的级数展开 在x=-1时给出

这个悖论式的等式在级数理论的发展过程中不时激起人们的思索。莱布尼茨认为这应从这个级数的部分和所可能取的值(1,0,1,0,…)的算术平均来理解。L.欧拉认为在涉及级数的分析研究中应坚持函数观点：一个有限的分析表达式的（幂）级数展开应在分析运算中当作该表达式的等价物，因而级数的和就是它所由之而来的分析表达式的值。这些看法启发了人们，对一个级数，甚至它是发散的，是否仍可以考虑它在广义意义下的和。一般说来，就函数的级数展开的特定形式(25)而论，只要它对于充分大的x都成立而又当x→+∞时有且极限值 (+∞)作为函数的边界值是一有限数,那么就可以说系数级数 级数在依函数序列{vn(x)}的展开中可和到 (+∞)，以 (+∞)为广义和，并把这种边值收敛关系简单地记为

不过,如果要取定{vn(x)}作为一种广义和的参考系，就应当事前适当地选取函数 vn(x)使得所产生的这种求和法是正规的，即每一个收敛级数∑αn都可和到它原有的和A。这通过阿贝尔部分求和法(26)可以用级数的部分和An表示成

这样，这个求和法为正规的一个必要充分条件是,对x一致地有

而前提条件在这里变成可见广义收敛乃是级数的部分和按一种平均意义理解的收敛;所以只要极限(34)存在级数，都说级数级数在以wn(x) 为权的带权平均的收敛过程中（平均）可和到A。

算术平均求和法(M)，相当于

m=【x】为x的整数部分；切萨罗求和法(C,k)，相当于

m=【x】为x的整数部分。

波莱尔还把他的求和法 (B)转换成边值形式并取其简化形式如

在转换中的误差项级数这一前提下,(B′)与(B)等价；一般情形，只能由(B)推到(B′)。这种求和法能够使很广泛的一类复项幂级数∑bnzn在其收敛圆外可和，并且可以逐项积分。为了可以逐项微分，波莱尔提出了绝对可和的附加条件，即这样一序列无穷积分都绝对收敛。

这种求和法不是正规的；只是限于绝对收敛的级数而言才是正规的。但它使幂级数的分析运算（加、减、乘、逐项微分、逐项积分等）可以在收敛圆外如同在收敛圆内一样进行,因而很有效地扩大了幂级数的应用范围,特别是很适合于（通过待定系数法）求解微分方程，如同渐近级数那样。

对于两种求和法W与W1，我们说W1比W强,意思是每一个W可和的级数都一定W1可和到相同的和,但反过来不成立。例如(B′)比(B)强,(A)比(C,k)强。这种断定可和性强弱的定理称为阿贝尔型定理。一个阿贝尔型定理的逆定理不成立，无非是说不能无条件地反过来，因而也就是说在适当的补充条件之下能够反过来。说明这种补充条件的充分性定理称为陶伯型定理。如一个阿贝尔可和的级数级数,只要级数,就必定是收敛的。

纯数量上，一个（无穷）级数永远等同于一个（无穷）积分

【x】为x的整数部分。所以级数的理论中只有基本变量n的离散性在其中根本上起着简明性的作用的那些部分才能保持其特有的级数形式；否则迟早都会在普遍化的进程中过渡为积分的形式。例如A.普林斯海姆关于正项级数的系统研究取级数形式，而N.维纳关于陶伯型定理的研究取积分形式。

发散级数求和的理论是收敛级数研究的扩展，它扩大了分析学严密理论的适用范围，有效地揭示了函数的分析性质与数量关系，在傅里叶分析与函数构造论中有许多应用。

参考书目

G.H.Hardy,A Course of Pure Mathematics,10th ed.,Cambridge Univ. Press, London, 1958.

Th.J.I'A Bromwich,An Introduction to theTheory of Infinite Series，2nd ed.，Macmillan, London, 1942. K.Knopp,Theorie und Anwendung der UnendlichenReihen,Aufl.4,Springer-Verlag,Berlin,1947.

G.H.Hardy,Divergent Series,Oxford Univ. Press,London, 1949.