“数轴标根法”又称“数轴穿根法”或“穿针引线法”。
准确的说,应该叫做“序轴标根法”。
序轴:省去原点和单位,只表示数的大小的数轴。序轴上标出的两点中,左边的点表示的数比右边的点表示的数小。
释义
“穿针引线法”又称“ 数轴穿根法”或“ 数轴标根法”。
准确的说,应该叫做“序轴标根法”。序轴:省去原点和单位,只表示数的大小的数轴。序轴上标出的两点中,左边的点表示的数比右边的点表示的数小。
当高次不等式f(x)>0(或<0)的左边整式、分式不等式φ(x)/h(x)>0(或<0)的左边分子、分母能分解成若干个一次因式的积(x-a1)(x-a2)…(x-an)的形式,可把各因式的根标在数轴上,形成若干个区间,最右端的区间f(x)、 φ(x)/h(x)的值必为正值,从右往左通常为正值、负值依次相间,这种解不等式的方法称为序轴标根法。
为了形象地体现正负值的变化规律,可以画一条浪线 从右上方依次穿过每一根所对应的点,穿过最后一个点后就不再变方向,这种画法俗称“ 穿针引线法“。
用途
用于解简单高次不等式。
发明者
淮南三中一名老教师。于1983发表的一篇论文《数轴标根法解不等式》上介绍此法,便于解此类不等式。
用法
当高次不等式f(x)>0(或<0)的左边整式、分式不等式φ(x)/h(x)>0(或<0)的左边分子、分母能分解成若干个一次因式的积(x-a1)(x-a2)…(x-an)的形式,可把各因式的根标在数轴上,形成若干个区间,最右端的区间f(x)、 φ(x)/h(x)的值必为正值,从右往左通常为正值、负值依次相间,这种解不等式的方法称为序轴标根法。
为了形象地体现正负值的变化规律,可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点,穿过最后一个点后就不再变方向,这种画法俗称“穿针引线法“。
使用步骤
第一步
通过不等式的诸多性质对不等式进行移项,使得右侧为0。(注意:一定要保证最高次数项的系数为正数)
例如:将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0
第二步
将不等号换成等号解出所有根。
例如:(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为:x1=2,x2=1,x3=-1
第三步
在数轴上从左到右按照大小依次标出各根。
例如:-1 1 2
第四步
画穿根线:以数轴为标准,从“最右根”的右上方穿过根,往左下画线,然后又穿过“次右根”上去,一上一下依次穿过各根。
第五步
观察不等号,如果不等号为“>”,则取数轴上方,穿根线以内的范围;如果不等号为“<”,则取数轴下方,穿根线以内的范围。
例如:
若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。
在数轴上标根得:-1 1 2
画穿根线:由右上方开始穿根。
因为不等号为“>”则取数轴上方,穿根线以内的范围。即:-1
奇穿偶不穿:即假如有两个解都是同一个数字。这个数字要按照两个数字穿。如(x-1)^2=0 两个解都是1 ,那么穿的时候不要透过1
可以简单记为秘籍口诀:或“ 自上而下,从右到左,奇穿偶不穿”(也可以这样记忆:“自上而下,自右而左,奇穿偶回” 或“奇穿偶连”)。
注意事项
运用序轴标根法解不等式时,常犯以下的错误:
问题一
出现形如(a-x)的一次因式时,勿匆忙地“穿针引线”。
例1 解不等式x(3-x)(x+1)(x-2)>0。
解 x(3-x)(x+1)(x-2)>0,将各根-1、0、2、3依次标在数轴上,由图1可得原不等式的解集为{x|x<-1或0
事实上,只有将因式(a-x)变为(x-a)的形式后才能用序轴标根法,正确的解法是:
【解】原不等式变形为x(x-3)(x+1)(x-2)<0,将各根-1、0、2、3依次标在数轴上,由图1,原不等式的解集为{x|-1 问题二 出现重根时,机械地“穿针引线”。 例2 解不等式(x+1)(x-1)^2(x-4)^3<0 解 将三个根-1、1、4标在数轴上, 原不等式的解集为{x|x<-1或1 这种解法也是错误的,错在不加分析地、机械地“穿针引线”。出现几个相同的根时,所画的浪线遇到“偶次”点(即偶数个相同根所对应的点)不能过数轴,仍在数轴的同侧折回,只有遇到“奇次”点(即奇数个相同根所对应的点)才能穿过数轴,正确的解法如下: 解 将三个根-1、1、4标在数轴上,画出浪线图来穿过各根对应点,遇到x=1的点时浪线不穿过数轴,仍在数轴的同侧折回;遇到x=4的点才穿过数轴,于是,可得到不等式的解集 {x|-1 问题三 出现不能再分解的二次因式时,简单地放弃“穿针引线” 例3 解不等式x(x+1)(x-2)(x^3-1)>0 解 原不等式变形为x(x+1)(x-2)(x-1)(x^2+x+1)>0,有些同学同解变形到这里时,认为不能用序轴标根法了,因为序轴标根法指明要分解成一次因式的积,事实上,根据这个二次因式的符号将其消去,再运用序轴标根法即可。 解 原不等式等价于 x(x+1)(x-2)(x-1)(x^2+x+1)>0, ∵ x^2+x+1>0对一切x恒成立, ∴ x(x-1)(x+1)(x-2)>0,由图4可得原不等式的解集为{x|x<-1或0