圆锥曲线（conic section），又称圆锥截痕、圆锥截面、二次曲线，是数学、几何学中通过平切圆锥（严格为一个正圆锥面和一个平面完整相切）得到的一些曲线。圆锥曲线包括圆，椭圆，双曲线，抛物线。非圆二次曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹。当e>1时为双曲线，当e=1时为抛物线，当0<1时为椭圆。阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。事实上，阿波罗尼在其着作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果。

历史

2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果。古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。事实上，阿波罗尼在其著作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果。

定义

几何观点用一个平面去截一个圆锥面，得到的交线就称为圆锥曲线（conic sections)。通常提到的圆锥曲线包括椭圆，双曲线和抛物线，但严格来讲，它还包括一些退化情形。具体而言：1) 当平面与圆锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。2) 当平面与圆锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。3) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。4) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。5) 当平面只与圆锥面一侧相交，且过圆锥顶点，结果退化为一个点。6) 当平面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线的一支（另一支为此圆锥面的对顶圆锥面与平面的交线）。7) 当平面与圆锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。

代数观点在笛卡尔平面上，二元二次方程ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0的图像是圆锥曲线。根据判别式的不同，也包含了椭圆、双曲线、抛物线以及各种退化情形。焦点--准线观点（严格来讲，这种观点下只能定义圆锥曲线的几种主要情形，因而不能算是圆锥曲线的定义。但因其使用广泛，并能引导出许多圆锥曲线中重要的几何概念和性质）。给定一点P，一直线L以及一非负实常数e，则到P的距离与L距离之比为e的点的轨迹是圆锥曲线。根据e的范围不同，曲线也各不相同。具体如下：1) e=0，轨迹退化为点（即定点P）；2) e=1（即到P与到L距离相同），轨迹为抛物线；3) 01，轨迹为双曲线。概念（以下以纯几何方式叙述主要的圆锥曲线通用的概念和性质，由于大部分性质是在焦点－准线观点下定义的，对于更一般的退化情形，有些概念可能不适用。）考虑焦点--准线观点下的圆锥曲线定义。定义中提到的定点，称为圆锥曲线的焦点；定直线称为圆锥曲线的准线；固定的常数（即圆锥曲线上一点到焦点与准线的距离比）称为圆锥曲线的离心率；焦点到准线的距离称为焦准距；焦点到曲线上一点的线段称为焦半径。过焦点、平行于准线的直线与圆锥曲线相交于两点，此两点间的线段称为圆锥曲线的通径，物理学中又称为正焦弦。圆锥曲线是光滑的，因此有切线和法线的概念。类似圆，与圆锥曲线交于两点的直线上两交点间的线段称为弦；过焦点的弦称为焦点弦。对于同一个椭圆或双曲线，有两个“焦点－准线”的组合可以得到它。因此，椭圆和双曲线有两个焦点和两条准线。而抛物线只有一个焦点和一条准线。圆锥曲线关于过焦点与准线垂直的直线对称，在椭圆和双曲线的情况，该直线通过两个焦点，该直线称为圆锥曲线的焦轴。对于椭圆和双曲线，还关于焦点连线的垂直平分线对称。Pappus定理：圆锥曲线上一点的焦半径长度等于该点到相应准线的距离乘以离心率。Pascal定理：圆锥曲线的内接六边形，若对边两两不平行，则该六边形对边延长线的交点共线。（对于退化的情形也适用）Brianchon定理：圆锥曲线的外切六边形，其三条对角线共点。 定理

由比利时数学家G.F.Dandelin 1822年得出的冰淇凌定理证明了圆锥曲线几何定义与焦点-准线定义的等价性。

即有一以Q为顶点的圆锥（蛋筒），有一平面PI'（你也可以说是饼干）与其相截得到了圆锥曲线，作球与平面PI'及圆锥相切，在曲线为椭圆或双曲线时平面与球有两个切点，抛物线只有一个（或者另一个在无穷远处），则切点为焦点。又球与圆锥之交为圆，设以此圆所在平面PI与PI'之交为直线d（曲线为圆时d为无穷远线），则d为准线。图只画了椭圆，证明对抛物线双曲线都适用，即证，任一个切点为焦点，d为准线。

证：假设P为曲线上一点，联线PQ交圆O于E。设平面PI′与PI的交角为a，圆锥的母线（如PQ）与平面PI的交角为b。设P到平面PI 的垂足为H，H到直线d的垂足为R，则PR为P到d的垂线（三垂线定理），而∠PRH=a。又PE=PF，因为两者同为圆球之切线。

如此则有：PR·sina=PH=PE·sinb=PF·sinb

其中：PF/PR=sina/sinb为常数

性质

椭圆

文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个小于1的正常数e。平面内一个动点到两个定点（焦点）的距离和等于定长2a的点的集合（设动点为P，两个定点为F1和F2，则PF1+PF2=2a）。定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。

标准方程：

1、中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：（x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1

其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2.

2、中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：（x^2/b^2)+(y^2/a^2)=1

其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2。

参数方程：x=acosθ；y=bsinθ （θ为参数，0≤θ≤2π)

双曲线

文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数e。定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率。

标准方程：

1、中心在原点，焦点在x轴上的双曲线标准方程：　（x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1

其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.

2、中心在原点，焦点在y轴上的双曲线标准方程：　（y^2/a^2)-(x^2/b^2)=1.

其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.

参数方程：x=asecθ；y=btanθ （θ为参数 )

直角坐标（中心为原点）：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 （开口方向为x轴） y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1 （开口方向为y轴）

抛物线

文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是等于1。定点是抛物线的焦点，定直线是抛物线的准线。

参数方程

x=2pt^2 y=2pt (t为参数） t=1/tanθ（tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率）特别地，t可等于0

直角坐标

y=ax^2+bx+c （开口方向为y轴，a≠0） x=ay^2+by+c （开口方向为x轴，a≠0 )

圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为

ρ=ep/(1-ecosθ）

其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。

离心率

椭圆，双曲线，抛物线这些圆锥曲线有统一的定义：平面上，到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。且当01时为双曲线。

这里的参数e就是圆锥曲线的离心率，它不仅可以描述圆锥曲线的类型，也可以描述圆锥曲线的具体形状，简言之，离心率相同的圆锥曲线都是相似图形。一个圆锥曲线，只要确定了离心率，形状就确定了。特别的，因为抛物线的离心率都等于1，所以所有的抛物线都是相似图形。

极坐标方程

1、在圆锥中，圆锥曲线极坐标方程可表示为：

其中l表示半径，e表示离心率；

2、在平面坐标系中，圆锥曲线极坐标方程可表示为：

其中e表示离心率，p表示焦点到准线的距离。

焦半径

圆锥曲线上任意一点到焦点的距离称为焦半径。

圆锥曲线左右焦点为F1、F2，其上任意一点为P(x,y），则焦半径为：

椭圆

|PF1|=a+ex

|PF2|=a-ex

双曲线

P在左支，|PF1|=－a-ex |PF2|=a-ex

P在右支，|PF1|=a+ex |PF2|=－a+ex

P在下支，|PF1|= －a-ey |PF2|=a-ey

P在上支，|PF1|= a+ey |PF2|=－a+ey

抛物线

|PF|=x+p/2

焦准距

圆锥曲线的焦点到准线的距离p，叫圆锥曲线的焦准距，或焦参数。

焦点三角形

椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形。

设F1、F2分别为椭圆或双曲线的两个焦点，P为椭圆或双曲线上的一点且PF1F2能构成三角形。

若∠F1PF2=θ，则椭圆焦点三角形的面积为S=tan（θ/2）；双曲线焦点三角形的面积为S= cot（θ/2）

通径

圆锥曲线中，过焦点并垂直于轴的弦称为通径。

中点弦问题

已知圆锥曲线内一点为圆锥曲线的一弦中点，求该弦的方程：

1、联立方程法。

用点斜式设出该弦的方程（斜率不存在的情况需要另外考虑），与圆锥曲线方程联立求得关于x的一元二次方程和关于y的一元二次方程，由韦达定理得到两根之和的表达式，在由中点坐标公式的两根之和的具体数值，求出该弦的方程。

2、点差法（代点相减法）

设出弦的两端点坐标（ ，）和（ ， ），代入圆锥曲线的方程，将得到的两个方程相减，运用平方差公式得[(x1+x2)(x1-x2)]/(a^2)+[(y1+y2)(y1-y2)/(b^2]=0

由斜率为（y1-y2)/(x1-x2），可以得到斜率的取值（使用时注意判别式的问题）

求点的轨迹方程

在求曲线的轨迹方程时，如果能够将题设条件转化为具有某种动感的直观图形，通过观察图形的变化过程，发现其内在联系，找出哪些是变化的量（或关系）、哪些是始终保持不变的量（或关系），那么我们就可以从找出的不变量（或关系）出发，打开解题思路，确定解题方法。

CGY-EH定理

CGY-EH定理（又称圆锥曲线硬解定理[3]）是一套求解椭圆\双曲线与直线相交时 、 x1+x2 、x1* x2、y1+y2、y1*y2 及相交弦长的简便算法.

定理内容:

若曲线 与直线Aχ+By+C=0相交于E、F两点,则:

其中 ; '为一与 同号的值.

定理说明:

应用该定理于椭圆 时,应将 代入.

应用于双曲线 时,应将 代入,同时 不应为零,即ε不为零.

求解y1+y2与 y1*y2只须将A与B的值互换且m与n的值互换.可知ε与 '的值不会因此而改变.

判别法

设圆锥曲线的方程为Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F=0|A B D|Δ= |B C E| , δ=|A B| , S=A+C , 称为二次曲线不变量(Δ=b^2-4ac)|D E F|　 |B C|

漫谈

圆锥曲线包括椭圆、抛物线、双曲线和圆，通过直角坐标系，它们又与二次方程对应，所以，圆锥曲线又叫做二次曲线。圆锥曲线一直是几何学研究的重要课题之一，在我们的实际生活中也存在着许许多多的圆锥曲线。我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的椭圆轨迹上运行，太阳系其他行星也如此，太阳则位于椭圆的一个焦点上。如果这些行星运行速度增大到某种程度，它们就会沿抛物线或双曲线运行。人类发射人造地球卫星或人造行星就要遵照这个原理。相对于一个物体，按万有引力定律受它吸引的另一物体的运动，不可能有任何其他的轨道了。因而，圆锥曲线在这种意义上讲，它构成了我们宇宙的基本形式。由抛物线绕其轴旋转，可得到一个叫做旋转物面的曲面。它也有一条轴，即抛物线的轴。在这个轴上有一个具有奇妙性质的焦点，任何一条过焦点的直线由抛物面反射出来以后，都成为平行于轴的直线。这就是我们为什么要把探照灯反光镜做成旋转抛物面的道理。由双曲线绕其虚轴旋转，可以得到单叶双曲面，它又是一种直纹曲面，由两组母直线族组成，各组内母直线互不相交，而与另一组母直线却相交。人们在设计高大的立塔（如冷却塔）时，就采取单叶双曲面的体形，既轻巧又坚固。由此可见，对于圆锥曲线的价值，无论如何也不会估计过高。

历史

对于圆锥曲线的最早发现，众说纷纭。有人说，古希腊数学家在求解“立方倍积”问题时，发现了圆锥曲线：设x、y为a和2a的比例中项，即。a：x=x：y=y：2a，则x^2=ay,y^2=2ax，xy=2a^2，从而求得x^3=2a^3。又有人说，古希腊数学家在研究平面与圆锥面相截时发现了与“立方倍积”问题中一致的结果。还有认为，古代天文学家在制作日晷时发现了圆锥曲线。日晷是一个倾斜放置的圆盘，中央垂直于圆盘面立一杆。当太阳光照在日晷上，杆影的移动可以计时。而在不同纬度的地方，杆顶尖绘成不同的圆锥曲线。然而，日晷的发明在古代就已失传。早期对圆锥曲线进行系统研究成就最突出的可以说是古希腊数学家阿波罗尼（Apollonius，前262~前190）。他与欧几里得是同时代人，其巨著《圆锥曲线》与欧几里得的《几何原本》同被誉为古代希腊几何的登峰造极之作。在《圆锥曲线》中，阿波罗尼总结了前人的工作，尤其是欧几里得的工作，并对前人的成果进行去粗存精、归纳提炼并使之系统化的工作，在此基础上，又提出许多自己的创见。全书8篇，共487个命题，将圆锥曲线的性质网罗殆尽，以致后代学者几乎没有插足的余地达千余年。我们都知道，用一个平面去截一个双圆锥面，会得到圆、椭圆、抛物线、双曲线以及它们的退化形式：两相交直线，一条直线和一个点，如图1，所示。在此，我们仅介绍阿波罗尼关于圆锥曲线的定义。如图2，给定圆BC及其所在平面外一点A，则过A且沿圆周移动的一条直线生成一个双锥面。这个圆叫圆锥的底，A到圆心的直线叫圆锥的轴（未画出），轴未必垂直于底。设锥的一个截面与底交于直线DE，取底圆的垂直于DE的一条直径BC，于是含圆锥轴的△ABC叫轴三角形.轴三角形与圆锥曲线交于P、P’，PP’未必是圆锥曲线的轴，PP’M是由轴三角形与截面相交而定的直线，PM也未必垂直于DE。设QQ’是圆锥曲线平行于DE的弦，同样QQ’被PP’平分，即VQ=QQ’。现作AF∥PM，交BM于F，再在截面上作PL⊥PM。如图3，PL⊥PP’对于椭圆、双曲线，取L满足，而抛物线，则满足，对于椭圆、双曲线有QV=PV·VR，对于抛物线有QV=PV·PL，这是可以证明的两个结论。在这两个结论中，把QV称为圆锥曲线的一个纵坐标线，那么其结论表明，纵坐标线的平方等于PL上作一个矩形的面积。对于椭圆来讲，矩形PSRV尚未填满矩形PLJV；而双曲线的情形是VR>PL，矩形PSRV超出矩形PLJV；而抛物线，短形PLJV恰好填满。故而，椭圆、双曲线、抛物线的原名分别叫“亏曲线”、“超曲线”和“齐曲线”。这就是阿波罗尼引入的圆锥曲线的定义。阿波罗尼所给出的两个结论，也很容易用现代数学符号来表示：趋向无穷大时，LS=0，即抛物线，亦即椭圆或双曲线的极限形式。在阿波罗尼的《圆锥曲线》问世后的13个世纪里，整个数学界对圆锥曲线的研究一直没有什么新进展。11世纪，阿拉伯数学家曾利用圆锥曲线来解三次代数方程，12世纪起，圆锥曲线经阿拉伯传入欧洲，但当时对圆锥曲线的研究仍然没有突破。直到16世纪，有两年事促使了人们对圆锥曲线作进一步研究。一是德国天文学家开普勒（Kepler,1571~1630）继承了哥白尼的日心说，揭示出行星按椭圆轨道环绕太阳运行的事实；二是意大利物理学家伽利略（Galileo,1564~1642）得出物体斜抛运动的轨道是抛物线。人们发现圆锥曲线不仅是依附在圆锥面上的静态曲线，而且是自然界物体运动的普遍形式。于是，对圆锥曲线的处理方法开始有了一些小变动。譬如，1579年蒙蒂（Guidobaldo del Monte,1545~1607）椭圆定义为：到两个焦点距离之和为定长的动点的轨迹。从而改变了过去对圆锥曲线的定义。不过，这对圆锥曲线性质的研究推进并不大，也没有提出更多新的定理或新的证明方法。17世纪初，在当时关于一个数学对象能从一个形状连续地变到另一形状的新思想的影响下，开普勒对圆锥曲线的性质作了新的阐述。他发现了圆锥曲线的焦点和离心率，并指出抛物线还有一个在无穷远处的焦点，直线是圆心在无穷远处的圆。从而他第一个掌握了这样的事实：椭圆、抛物线、双曲线、圆以及由两条直线组成的退化圆锥曲线，都可以从其中一个连续地变为另一个，只须考虑焦点的各种移动方式。譬如，椭圆有两个焦点F1、F2，如图4，若左焦点F1固定，考虑F2的移动，当F2向左移动，椭圆逐渐趋向于圆，F1与F2重合时即为圆；当F2向右移动，椭圆逐渐趋向于抛物线，F2到无穷远处时即为抛物线；当F2从无穷远处由左边回到圆锥曲线的轴上来，即为双曲线；当F2继续向右移动，F2又与F1重合时即为两相交直线，亦即退化的圆锥曲线。这为圆锥曲线现代的统一定义提供了一个合乎逻辑的直观基础。随着射影几何的创始，原本为画家提供帮助的投射、截影的方法，可能由于它与锥面有着天然的联系，也被用于圆锥曲线的研究。在这方面法国的三位数学家笛沙格（Desargue1591－ 1661）、帕斯卡（Pascal，1623－ 1662）和拉伊尔（Phailippe de La Hire，1640～1718）得出了一些关于圆锥曲线的特殊的定理，可谓别开生面。而当法国另外两位数学家笛卡儿和费马创立了解析几何，人们对圆锥曲线的认识进入了一个新阶段，对圆锥曲线的研究方法既不同于阿波罗尼，又不同于投射和截影法，而是朝着解析法的方向发展，即通过建立坐标系，得到圆锥曲线的方程，进而利用方程来研究圆锥曲线，以期摆脱几何直观而达到抽象化的目标，也可求得对圆锥曲线研究高度的概括和统一。到18世纪，人们广泛地探讨了解析几何，除直角坐标系之外又建立极坐标系，并能把这两种坐标系相互转换。在这种情况下表示圆锥曲线的二次方程也被化为几种标准形式，或者引进曲线的参数方程。1745年欧拉发表了《分析引论》，这是解析几何发展史上的一部重要著作，也是圆锥曲线研究的经典之作。在这部著作中，欧拉给出了现代形式下圆锥曲线的系统阐述，从一般二次方程。出发，圆锥曲线的各种情形，经过适当的坐标变换，总可以化以下标准形式之一：继欧拉之后，三维解析几何也蓬勃地发展起来，由圆锥曲线导出了许多重要的曲面，诸如圆柱面、椭球面、单叶和双叶双曲面以及各种抛物面等。总而言之，圆锥曲线无论在数学以及其他科学技术领域，还是在我们的实际生活中都占有重要的地位，人们对它的研究也不断深化，其研究成果又广泛地得到应用。这正好反映了人们认识事物的目的和规律。

光学性质

椭圆

从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上。

双曲线

从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上。

抛物线

从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的对称轴。

一束平行光垂直于抛物线的准线，向抛物线的开口射进来，经抛物线反射后，反射光线汇聚在抛物线的焦点。