反证法（又称背理法），是一种论证方式，它首先假设某命题不成立（即在原命题的题设下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说假设不成立，原命题得证。反证法与归谬法相似，但归谬法不仅包括推理出矛盾结果，也包括推理出不符事实的结果或显然荒谬不可信的结果。

定义

反证法常称作Reductioadabsurdum，是拉丁语中的“转化为不可能”，源自希腊语中的“ ει τοαδυνατονπαγωγη”，阿基米德经常使用它。

原理

很多教科书中提到反证法时，只简单地讲了反证法的逻辑原理是逆否命题和原命题的真假性相同。但是实际的操作过程还用到了另一个原理，即：原命题和原命题的否定是对立的存在：原命题为真，则原命题的否定为假；原命题为假，则原命题的否定为真。这一点可以从集合论的角度理解。

操作过程

原理

若原命题：p≧q为真

先对原命题的结论进行否定，即写出原命题的否定：p≧非q

从这个否定的结论出发，推出矛盾，即命题：非q≧p为假（即存在矛盾）

从而该命题的否定为真：非q≧非p为真

再利用原命题和逆否命题的真假性一致，即原命题：p≧q为真

误区

否命题与命题的否定是两个不同的概念

命题的否定只针对原命题的结论进行否定。而否命题同时否定条件和结论：

原命题：p≧q

否命题：非p≧非q

命题的否定：p≧非q

原命题与否命题的真假性没有必然联系，但原命题和原命题的否定却是对立的存在，一个为真另一个必然为假。

解释

反证法是“间接证明法”一类，是从反方向证明的证明方法，即：肯定题设而否定结论，经过推理导出矛盾，从而证明原命题。法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。具体地讲，反证法就是从反论题入手，把命题结论的否定当作条件，使之得到与条件相矛盾，肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。

在应用反证法证题时，一定要用到“反设”，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。

证明

反证法的证明主要用到“一个命题与其逆否命题同真假”的结论，为什么？这个结论可以用穷举法证明：

某命题：若A则B，则此命题有4种情况：

1.当A为真，B为真，则A→B为真，得﹁B﹁A为真；

2.当A为真，B为假，则A→B为假，得﹁B→﹁A为假；

3.当A为假，B为真，则A→B为真，得﹁B→﹁A为真；

4.当A为假，B为假，则A→B为真，得﹁B→﹁A为真；

∴一个命题与其逆否命题同真假

即关于〉=〈的问题：

大于-〉反义：小于或等于

都大于-〉反义：至少有一个不大于

小于-〉反义：大于或等于

都小于-〉反义：至少有一个不小于

即反证法是正确的。

与若A则B先等价的是它的逆否命题若﹁B则﹁A

假设﹁B,推出﹁A,就说明逆否命题是真的,那么原命题也是真的.

但实际推证的过程中,推出﹁A是相当困难的,所以就转化为了推出与﹁A相同效果的内容即可,这个相同效果就是与A(已知条件)矛盾,或是与已知定义,定理,大家都知道的事实等矛盾。

使用

反证法在数学中经常运用。当论题从正面不容易或不能得到证明时，就需要运用反证法，此即所谓"正难则反"。

牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来讲，反证法常用来证明正面证明有困难,情况多或复杂,而逆否命题则比较浅显的题目，问题可能解决得十分干脆。

反证法的证题可以简要的概括为“否定→得出矛盾→否定”。即从否定结论开始，得出矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是辩证的“否定之否定”。应用反证法的是：

欲证“若P则Q”为真命题，从相反结论出发，得出矛盾，从而原命题为真命题。

证明步骤

（1）反设：假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立。

（2）归谬：从这个命题出发，经过推理证明得出矛盾。

（3）结论：由矛盾判断假设不成立，从而肯定命题的结论正确。

适用题型

（1）唯一性命题

（2）否定性题

（3）“至多”，“至少”型命题

（4）必然性命题

（5）起始性命题

（6）无限性命题

（7）不等式证明。

范例

两个反证法的范例

证明：素数有无数个。

这个古老的命题最初是由古希腊数学家欧几里德(Euclid of Alexandria，生活在亚历山大城,约前330～约前275,是古希腊最享有盛名的数学家)在他的不朽著作《几何原本》里给出的一个反证法。