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无聊的逻辑学:对当方阵

听说,一叶可知秋,见微可知著。人们常常以为,知道一个人的星座,就能知道这个人的行为模式。还有一次,朋友要看我的无名指和食指的长度比,据说这预示着性能力强不强。

星座一说,纯属闲聊时的谈资,不可当真。手指长度比例的说法,我查了些文献,没找到可靠的依据。但大家不用失望,一叶知秋的方法有很多,容我立刻就向大家介绍一种。

仅仅知道A、E、I、O这四个命题中的任意一个是真是假,我们就可能知道另外几个是真是假。不信请看下面这四个命题。

A:所有的魔法少女都是日本人。

E:所有的魔法少女都不是日本人。

I:有的魔法少女是日本人。

O:有的魔法少女不是日本人。

假设我们知道A是真的,那就能知道E和O是假的,并且I也是真的。假设A是假的,那就知道O是真的,而E和I的真值则不能确定。

假设我们知道E是真的,那就能知道I和A是假的,而O是真的。假设E是假的,那就知道I是真的,而A和O的真假不能确定。

假设我们知道I是真的,那就能知道E是假的,而A和O的真值不确定。假设I是假的,那就能知道E和O是真的,A则是假的。

假设我们知道O是真的,那就能知道A是假的,而E和I的真值不确定。假设O是假的,那就能知道A和I是真的,而E是假的。

以上这段话看似很绕,但如果大家将“魔法少女”和“日本人”以及量词和联词带入到命题中,就会发现,除非我打错字产生笔误,否则我所言非虚。

这是为什么呢?

因为我觉得自己不会有笔误(这话删掉)。

因为我对魔法少女有充分的认识(这话也删掉)。

因为同主词和谓词的直言命题之间,有某种密切的关系

对当方阵(square of opposition)正是描述这些关系的绝佳工具,这可是古典逻辑最重要的两项研究成果之一,它长这副模样:

这张带对角线的矩形图解来自维基百科,虽然都是英文,但全世界人民学的都是同一套逻辑,所以我们说汉语的人也能看懂A、E、I、O四个命题之间的关系。文恩图里,涂黑的地方表示不存在,红色表示明显存在,粉红色表示暗示存在(亚里士多德观点)。接下来,让我们细说这些命题之间的四种关系

矛盾关系(contradiction):方阵里面的两条黑色对角线表示矛盾关系。矛盾关系非常明确,它要求两个命题的真值恰好相反,必然是一真一假。知道其中一个的真值,必然也知道另一个的真值。

反对关系(contrariety):方阵上面这条横线表示A和E之间是反对关系。反对关系要求两个命题不能同时为真。知道其一为真,另一个必然为假。但知道其一为假,推不出结论。

下反对关系(subcontrariety):方阵下面这条横线表示I和O之间是下反对关系。下反对关系要求两个命题不能同时为假。知道其一为假,另一个必然为真。但知道其一为真,推不出结论。

差等关系(subalternation):方阵左右两边的竖线表示差等关系。差等关系是说,上真就下真,下假就上假。如果是上假或下真,那并不能推出什么结论。我编了个口诀能帮助记忆,“差等瀑布里,真水往下流,假气向上飘”。

眼尖的朋友应该发现了,对当方阵的图中,矛盾关系是黑色的线,其他三种关系是灰色的线。这种颜色差异想说明什么呢?

绘图者想说,矛盾关系比其他三种关系更加坚实。无论是布尔观点还是亚里士多德观点,都承认矛盾关系。但布尔观点不承认另外三种灰色线表示的关系。如果按照布尔观点画对当方阵,那就只有两条对角线了,上下左右四条边都不复存在了。

之前提到,在推理和论证的过程中,亚里士多德观点比布尔观点有更多可操作的空间。现在大家就可以看出,如果按照亚里士多德观点,那就可以“举一反三”,从一个命题的真假,得知很多别的信息。而如果按照布尔观点,那就只能“举一反一”,从一个命题的真假,得知少量别的信息。

另外,考虑对当方阵时,不可简单将单称命题看作全称命题。如果将单称命题放入对当方阵里,那就会变成一个很复杂的六角形。至于其中每条线代表什么关系,大家可以自行分析。

最后让我们做两个练习题,巩固今日所学:

有甲乙丙丁四人,他们都对“人性是否自私”这个议题有自己的看法。请问他们会如何看待另外三人的看法?

甲:所有人都是自私的。

乙:所有人都不是自私的。

丙:有的人是自私的。

丁:有的人不是自私的。

还是甲乙丙丁四人,他们对“逻辑学知识是否能促进智慧”这个议题有自己的看法。请问他们会如何看待另外三人的看法?

甲:我不认为“所有逻辑学知识都能增长人的智慧”。

乙:我不认为“所有逻辑学知识都不能增长人的智慧”。

丙:我不认为“有的逻辑学知识能增长人的智慧”。

丁:我不认为“有的逻辑学知识不能增长人的智慧”。

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