100多年里，在许多物理学家共同努力下量子理论的构建初步完成。21世纪以来，量子技术突飞猛进，量子应用渗透到人们生活的方方面面。但是，量子理论所描述的“微观现象”究竟是什么？物理学家至今未能给出完美的阐述，对量子理论本质的诠释五花八门、悬而未决。
下面，通过量子力学的几种描述形式阐述量子理论的意义，探索量子现象的深层本质。
小提示：
量子力学是物理学家为描述量子现象而发明的数学方法。以下量子力学的几种表述形式都是物理学家为了便于计算基于一个角度，通过假设一些“基本量”和“基本概念”而开发的数学描述方法。虽然，它们都能对实验中的现象做出正确预测，给出准确的结果。然而，它们都不代表“微观量子”现象的本质，仅是从一个角度对量子现象给出假定性的描述。
1、海森堡矩阵方程（矩阵力学）。
核心要点：在量子理论建立过程，对量子模型，诸如电子的轨道、频率等，都不是可以直接观察。 海森堡提出矩阵力学，通过观察量原子辐射出来的光的频率、强度等，就等于知道了电子在原子中的轨道的模型。
对量子理论建立的贡献和意义：利用实验中可经常接触到光谱线的频率、强度、偏极化等要素描述微观不可见的现象。
对量子现象的阐述：（无）矩阵方程仅为量子计算提供了有效地方法。
在矩阵形式中，每一个力学观测量（例如位置、动量或能量）在数学上都被表示为一个矩阵（也称作一个算符）。对一个有N（大多数情况下N=∞）个态的系统来说，这些矩阵将是一个 𝑁×𝑁的厄米矩阵。一个量子态 |𝜓⟩ 数学上就表示为 一个 𝑁×1的列矩阵。
2、薛定谔波动方程。
核心要点：薛定谔将物质波概念和波动方程相结合建立二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。
对量子理论建立的贡献和意义：薛定谔方程在量子力学中，体系的状态要用力学量的函数Ψ（x,t），即波函数（又称概率幅，态函数）来确定，波函数成为量子力学研究的主要对象。力学量取值的概率分布如何以及分布随时间如何变化，这些问题都可以通过求解波函数的薛定谔方程得到解答。
对量子现象的阐述：
1、量子及物质都具有波动性，可通过波函数描述，并具备波的一切性质（干涉、衍射、叠加等）。
2、粒子的位置可用概率幅描述，概率幅是描述粒子量子行为的复函数，当描述粒子的位置时，概率幅是一个波函数，表达为位置的函数。
3、粒子在微观出现的位置具有不确定性。
相比矩阵方程，薛定谔波动方程把注意力从“可测量”转移到了“态”上。两粒子的系统的态（忽略自旋）数学上表示为一个六维位形空间的复函数，即
另一种等价的选择是，我们可以在六维动量空间中表示这个态
薛定谔引入这种形式的目的是希望能够把量子力学写成一种符合直觉的形式。但最终他很失望，因为他发现他的波函数只能存在于位形空间，而不是实际的三维空间。波函数应当被看作是一个计算观测结果的数学工具，而不是一个存在于空间中的物理实体（像足球、氮分子，或电场）。
注：对于薛定谔方程中“波函数”（“态”的概念）的现实物理意义，物理学家始终不能给出准确描述。
3、费曼路径积分。
核心要点：费曼的路径积分理论与量子力学曲率解释在数学意义和物理意义上是完全吻合的。在量子力学曲率解释中不需要知识波的纠缠，曲率波是真实的物理波，它在时空中的干涉现象直接体现粒子在时空中的真实分布，波与粒子在物理意义上是完全统一的。
对量子理论建立的贡献和意义：费曼路径积分的数学形式更接近经验——核心是转移概率，而不是观测不到的波函数。消除了薛定谔方程中“波函数”的神秘性。
对量子现象的阐述：路径积分形式（也称为历史求和形式）把量子现象描述方式从“态”转移到了“转移概率”上。
例如，假设有一个粒子在时间𝑡𝑖位于x𝑖，我们希望求出在时间𝑡f时该粒子位于xf的概率有多大。这个概率的值可以这么算：
Ø 列举出从初态到末态的所有经典路径；
Ø 计算每一条路径的经典作用量𝑆 = ∫(𝐿𝑎𝑔𝑟𝑎𝑛𝑔𝑖𝑎𝑛)𝑑𝑡;
Ø 给每条路径分配一个正比于𝑒−𝑖𝑆 /ℏ的“转移振幅”（调整比例系数以满足归一性）;
Ø 对所有路径的振幅求和（因为路径是连续的，所以这里的求和实际上是一种积分，称之为“路径积分”）;
Ø 求和的结果就是从初态到末态的转移振幅，其平方即转移概率。
对别的不同的问题，例如对于粒子从一个动量变到另一个动量，或初态既没有确定的位置也没有确定的动量的情况，上面的程序就需要稍做调整了。
4、魏格纳相空间。
核心要点：在数学与物理学中，相空间是一个用以表示出一系统所有可能状态的空间；系统每个可能的状态都有一相对应的相空间的点。相空间是一个六维假想空间，其中动量和空间各占三维。每个相格投影到px-x平面上后面积总是h。
对量子理论建立的贡献和意义：一个经典的粒子具有确定的位置和动量，它是由相空间中的点表示。 在刘维尔密度中，粒子在相空间中特定位置的概率是由一个概率分布决定。由于不确定性原理，这种严格的解释未能阐述量子粒子。相反地，准概率维格纳分布扮演一个类似的角色，虽然并不满足所有传统概率分布特性但满足经典分布不能使用有界的特性。
对量子现象的阐述：一个限制在一维上的单粒子，魏格纳相空间分布函数为
这个函数有很多有用的特性：
Ø 函数本身是纯实数，可正可负；
Ø 对动量的积分可以给出位置的概率密度
Ø 对位置的积分可以给出动量的概率密度
Ø 如果用一个常数相因子替代波函数ψ，魏格纳函数不变。
Ø 给出W(x, p, t)，我们能通过两步求出波函数。首先进行傅立叶变换
然后选择任意一点x0，其中W(x0, p, t)不等于零，得
魏格纳函数并不是相空间中的概率密度——按照海森堡的不确定原理是没有这样的实体存在。但它还是具有几个相同的特性的，因此用“分布函数”这个词应该更恰当一些。
5、密度矩阵。
核心要点：密度矩阵是量子统计中描述系统状态的量。量子力学中，系统可处的状态可以是量子单态，也可以是多个量子单态以某种概率的叠加。描述量子单态的是希尔博特空间中的向量，由于向量的任意叠加还是向量，因此要描述一个以某种概率处在多个量子态上的系统，不能仅仅由向量描述。量子态空间与它的共轭空间的向量可以构成投影算符。将这些投影算符以概率叠加起来，便可以得到可以描述概率的矩阵，这样的矩阵就是密度矩阵。
对量子理论建立的贡献和意义：将量子现象表述为“系统状态”利用密度矩阵进行计算。
对量子现象的阐述：
一个纯态|ψ⟩的密度矩阵是其外积
如果给出密度矩阵，那么量子态|ψ⟩可以通过这个方法来获得：首先选择任意态|ϕ⟩，于是右矢|ψ⟩（未归一化）等于
（只要这个量不等于零）。
密度矩阵也可以（虽然很少）叫做“密度算符”。就像其他的量子力学算符一样，密度算符与所选择的基态无关，但是算符矩阵的元素
的大小取决于基态选择。
6、二次量子化。
核心要点：二次量子化是对量子力学的一种新的数学表述。普通的量子力学方法只能处理粒子数守恒的系统，但在相对论量子力学中，粒子可以产生和湮灭。
对量子理论建立的贡献和意义：二次量子化引入了生成和湮灭（粒子）算符，将量子力学带入量子场论领域。在量子场论中这些作用（生成／湮灭）是真实的物理效应（例如，一个电子和一个正电子湮灭生成一个质子）。
对量子现象的阐述：
二次量子生成算符
作用到一个没有粒子的态（真空态）|0⟩上形成的。因此下面这几个不同的表示都是描述的相同的单粒子态
所以如果只考虑单粒子体系的话，二次量子化形式和波函数形式是等价的（甚至看起来有些笨拙）。
结语：以上六种形式都能从不同角度对微观量子现象做出准确描述，这说明量子力学还处于初级阶段有待完备，任何一种形式仅是物理学家对微观表面现象给出的数学方法，而量子现象的本质原理始终没有被发现。
微观量子的本质是什么？
目前科学家并不完全知晓！因此，无论波函数、量子场论，以及相关的“叠加态”、“量子坍缩”等性质，都是物理学家基于现有理论中的数学运算形式提出的假设。
