昨天看到一篇文章《这一切要从碰撞的滑块和量子搜索讲起》，里面说到圆周率π与滑块碰撞次数有种奇妙的关系：
在光滑的平面上放着两个1 kg的滑块，在它们的左侧有一面坚固且不可移动的墙。两个滑块一个离墙近一些，一个远一些，而且后者正在向前者滑去。可以想象，接下来将会产生许多次碰撞。假设每次碰撞时都没有动能损失，整个过程将像下面图中展示的那样：
图1
右侧的滑块碰撞左侧的滑块，并将全部动量转移给左侧滑块，左侧滑块碰到墙反弹回来，再与右侧滑块发生碰撞并将动量全部转移过去。期间左侧滑块一共发生了3次碰撞。如果我们增大右侧滑块的质量，会发现一些更有趣的事情：将右侧滑块质量换成100 kg，那每次碰撞时只会有一小部分动量发生转移，将会碰撞31次；如果将右侧滑块质量换成10000kg，那整个过程将发生314次碰撞。
不断100倍100倍地增加右侧滑块质量，你会发现神奇的现象：总碰撞次数与π每一位的数字越来越接近。
图2
我也感觉很神奇，于是做了一下计算，计算结果支持这个说法。
图3
设滑块a和滑块b的质量分别为ma和mb，速度为va和vb。速度随着碰撞而改变，设两个滑块间发生第m次碰撞后的速度分别为va,m和vb,m。
由于碰撞过程中没有动能损失，因此滑块a碰撞左侧墙壁后，速度将大小不变，方向相反。根据动量守恒原理，可列下式：
-mava,m-1 + mbvb,m-1 = mava,m + mbvb,m .......①
因为碰撞过程动能无损失，可列下式：
mava,m-12 + mbvb,m-12 = mava,m2 + mbvb,m2 ..②
设mb = K·ma（图3中K为100），由式①、②可得（计算过程略）：
...........................③
.........................④
当vb,m为负，且|va,m|<=|vb,m|时，两个滑块将不再发生碰撞，此时如果va,m>0，则滑块a还将与墙壁碰撞一次。将式③、④写入Excel表格，可以快速得到结果：
表1
K=1
m
va
vb
初始
0:
1:
1:
1:
0:
2:
0:
-1
2m-1
表2
K=100
m
va
vb
初始
0:
1:
1:
1.98019802
0.98019802
2:
3.881972356
0.921576316
3:
5.630005212
0.82645654
4:
7.155067565
0.698605813
5:
8.396760906
0.543087528
6:
9.30590926
0.366060826
7:
9.846506752
0.174536666
8:
9.997143581
-0.023899837
9:
9.751853931
-0.221389812
10:
9.120352245
-0.410111874
11:
8.127648489
-0.582591881
12:
6.813057665
-0.731998943
13:
5.228642775
-0.852415947
14:
3.437152923
-0.939073904
15:
1.509538203
-0.988540816
16:
-0.477860208
-0.998857596
2m-1
表3
K=10000
m
va
vb
初始
0:
1:
1:
1.99980002
0.99980002
2:
3.9988002
0.99920016
3:
5.99620102
0.99820066
4:
7.991203599
0.996801919
5:
9.983010016
0.995004498
6:
11.97082363
0.992809115
7:
13.95384939
0.990216647
8:
15.93129417
0.987228133
9:
17.90236707
0.983844767
10:
19.86627974
0.980067902
11:
21.82224669
0.97589905
12:
23.76948562
0.971339876
13:
25.7072177
0.966392206
14:
27.63466792
0.961058017
15:
29.55106539
0.955339444
...
...
...
155:
4.168389998
-0.999130849
156:
2.169494513
-0.999764637
157:
0.169731316
-0.99999856
（2m-1)+1
表4
K=1000000
m
va
vb
初始
0:
1:
1:
1.999998
0.999998
2:
3.999988
0.999992
3:
5.999962
0.999982
4:
7.999912
0.999968
5:
9.999830001
0.99995
6:
11.999708
0.999928001
7:
13.999538
0.999902002
8:
15.99931201
0.999872003
9:
17.99902202
0.999838004
10:
19.99866003
0.999800007
11:
21.99821804
0.99975801
12:
23.99768807
0.999712014
13:
25.9970621
0.999662019
14:
27.99633215
0.999608026
15:
29.99549021
0.999550034
...
...
...
1569:
3.593691854
-0.999993543
1570:
1.593699581
-0.99999873
1571:
-0.406299066
-0.999999917
2m-1
以表3中100vb为纵坐标，va为横坐标，可得下面半圆图形：
图4
先写到这里，有时间再分析为什么圆周率π与滑块碰撞次数之间有这个奇妙关系。
