（小石头，站在偏数学的角度，来回答这个问题。简单一句话，魔方的原理就是：魔方群在状态集上的作用，具体回答如下：）
魔方群
整体来看，魔方（Rubik"s cube）是一个立方体，一共有六个面 （surface），我们分别用 U（up 上）、D（down 下）、F （front 前）、B（back 后）、L（left 左）、R（right 右）来标识，不妨规定：U 对应 黄（yellow）、D 对应 白（white）、F 对应 蓝（blue）、B 对应 绿（green）、L 对应 橙（orange）、R 对应 红（red）。
令，M = {U, D, F, B, L, R}，当 任意面 f ∈ M 朝向我们时，对 f 面 顺时针 旋转 90°， 被定义为 魔方的 基本操作（base operation），同样用 f 面 的 面标识 来表示 这种基本操作。所以 M 也代表 魔方的全部基本操作。
对于，任意 基本操作 g, h ∈ M，gh 称为 g 和 h 的 复合（compose）， 表示 先 g 操作 再 h 操作 的复合操作。可以验证，复合满足结合律， 这样以来，以 M 为生成元 在复合操作下会生成一个群 G = (M)，称为 魔方群（Rubik‘s cube group)。其中，G 的 幺元，记为 1， 表示 没有进行任何操作的操作。
什么是群？
群就是定义了一种运算 的集合 ，其 满足：
集合对运算封闭，即，对于任意 都有 ( 注意：和乘法运算类似，习惯省略不写 ) ；
运算有分配律，即， 对于任意 都有 ；
有幺元，即，存在 使得 对于 任意 都有 ；
有逆元，即，对于任意 都存在 的逆元 使得 。
什么是 M 生成的群？
数学上定义：包括 M 中元素的 最小的群，为M生成的群，记为 (M)。实际上，可以 对 M 中任意操作 g 和 h 不断的 进行 复合运算，如果得到的新复合操作 gh 不在 M 中，就 gh 添加到 M 里，直到 M 不再增加，这样就得到了 (M)。
同一基本操作 g， 连续四次 复合 就是 对 g 面 顺时针 旋转 360°，这相当于 没有操作，即，
gggg = 1
从而有：
gg³ = 1
也就是说 g³ 就是 g 的逆元 g⁻¹ ，相当于 对 g 面 逆时针 旋转 90°。
另外，由 gggg = 1 还可以得到：
g²g² = 1
这说明 连续两次 复合 g² 的逆元 就是自己，即，顺时针 旋转 180° 相当于 逆时针 旋转 180° 。
魔方状态
三阶魔方被细分为 3 × 3 × 3 = 27 个 立方小块（cubie）。其中，位于 中间核心的 那个 小块 不会受到 魔方操作 的影响到，而对于 每个 面中心的 那个 小块 魔方操作 同样无法改变它的位置，因此 魔方操作 所能 影响到的 小块 为 27 - (1 + 6) = 20 个。
位于魔方 8 个角 处的 角（corner）块，它们有3个有效 小面（facet）；
位于魔方 12 个棱 处的 棱（edge）块，它们有2个有效 小面；
由于，每个面的 中心块 保持位置不变，因此对于打乱的魔方，可以依照 中心块 来 确定 魔方的各个面 方向。魔方在初始（或 还原）状态下，角块 和 棱块 的每个 小面 和 该小面 所在面 的 中心小块 颜色保持一致。
我们用 角块（或 棱块） 的各小面 颜色所对应的 标识 的小写字母 的组合来标识 角块（或 棱块）：
对于 角块，三个小面 x, y, z，有 6 种排列方式，这里 使用 从 u 或 d 开始 的 顺时针 排列方式，即，角块标识 xyz 保证 x = u/d 并且 x →y → z 是顺时针；
对于 棱块，二个小面 x, y, 有 2 种 排列方式，这里 使用 从 u 或 d（f 或 b） 开始 的 排列方式，即，棱块标识 xy 保证 x = u/d/f/b；
根据上面的规则，八个角块分别表示为：ufl, urf, ubr, ulb; dbl, dlf, dfr, drb; 十二个棱块分别表示为：ub, ur, uf, ul; bl, br, fr, fl; db, dr, df, dl
注意：六个中心块 分别表示为：u, d, f, b, l, r，核心块 一般用 o 表示 。
更进一步，对于角块 xyz，我们用 xyz 表示 x 小面，yzx 表示 y 小面，zxy 表示 z 小面，对于棱块 xy ，我们用 xy 表示 x 小面，用 yx 表示 y 小面，于是，我们就得到了 带有标注 的 8 × 3 + 12 × 2 = 48 个 小面。将，全体小面记为 T，则 任意 操作 g ∈ G 就变成了 T 上的 一种 置换（位置变换）。以 F 操作 为例，
观察发现， 小面 fur 经过 F 操作 置换 为 小面 flu，即，F(fur) = flu，另有 F(flu) = fdl、F(fdl) = frd、F(frd) = flu，于是 在 F 操作下，以上 4 个置换 形成了 一个 置换圈：
我们称其为 轮换（cycle），记为 (fur flu fdl frd) 。
参与轮换的 小面 可以是任意多个，值得注意的是：任何一个小面 a 的 轮换 (a) 相当于 不做 置换，有, 1 = () = (a) 。
当然，实际上 F 操作 包含 多个 轮换，将这些轮换 以复合的方式，聚合在一起，就是定义了一个 完整 F 操作：
F = (fur flu fdl frd) (fu fl fd fr)(rfu ufl lfd dfr)(rf uf lf df)(rdf urf luf dlf)
注意：为了方便，我们也可以用 1- 48 的 正整数，来替代 上面 S 中 对小面 的编码。
T 上的所有 置换函数，在函数复合下，组成 置换群 S₄₈。但是，因为 角块的面永远置换不到棱块的面，所以 G 仅仅是 S₄₈ 的子群。
用离散的小面来记录魔方的状态过于粗犷，重新审视魔方，我们会得到如下结果：
每个立方块都是一个整体，在任何魔方的操作下，组成它的小面不会分离；
每个立方块，有两种状态信息：位置 和 方向；
角块 和 棱块 在 魔法操作下 相互独立，即，角块 永远不可能 转到 棱块 上，反之亦然。
基于，以上分析，我们首先， 分别 对 角块 和 棱块 进行定位（location）：
角块：ufl = 1, urf = 2, ubr = 3, ulb = 4; dbl = 5, dlf = 6, dfr = 7, drb = 8;
棱块：ub = 1, ur = 2, uf = 3, ul = 4; bl = 5, br = 6, fr = 7, fl = 8; db = 9, dr = 10, df = 11, dl = 12;
令 C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}， 这里包含 所有 角块的位置信息，可以很容易将 基本操作 对 角块位置的 改变写成轮换形式：
U = (1 2 3 4),
D = (5 8 7 6),
F = (1 6 7 2),
B = (3 8 5 4),
L = (1 4 5 6),
R = (2 7 8 3)
显然，G 作用在 C 上 是 置换群 S₈ 的子群。
同理，令 E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}，基本操作对于 棱块 位置的改变写成轮换形式为：
U = (1 4 3 2),
D = (9 10 11 12),
F = (3 8 11 7),
B = (1 6 9 5),
L = (4 5 12 8),
R = (2 7 10 6)
同样，G 作用在 E 上 是 置换群 S₁₂ 的子群。
然后，我们分别对 角块 和 棱块 进行定向（orientation）：
角块：u/d 为定向面，xyz = 012；
棱块：u/d/f/b 为定向面，xy = 01；
对于保持 定向 信息，我们只需要定义，定位位置 当前 立方块 的 定向面 对应 的 编号就可以了。而对于 基本操作，对 定向的 改变，我们也只需要 记录，原始状态下，经过 基本操作后，各个 定位位置，的 定向面 对应 的 编号就可以了。如果，原始状态下，即， 定向面的编号为 0，经过某操作，到新位置后，定向面编号为 n，则 原来 定向面的编号为 m，经同样操作，到新位置后，定向面编号就是 (n + m) mod k，对于角块 k = 3，对于 棱块 k = 2。0- 不旋转，1-逆时针旋转，2-顺时针旋转。
令，V = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) 表示 角块的所有定向，则 基本操作为对角块定向的改变为：
U = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0),
D = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0),
F = (1, 2, 0, 0, 0, 2, 1, 0),
B = (0, 0, 1, 2, 1, 0, 0, 2),
L = (2, 0, 0, 1, 2, 1, 0, 0),
R = (0, 1, 2, 0, 0, 0, 2, 1)
对于每一位来说都是 Z₃ ，总共 8 个 Z₃ 就是 Z₃⁸ ，但是 考虑 在 到 7 个 角块固定的情况下，我们无法 单独 旋转 剩下的那个，因此 G 在 V 上的作用 实际上 是 Z₃⁷。
令，W = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) 表示 棱块的所有定向，则 基本操作为对棱块定向的改变为：
U = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0),
D = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0),
F = (0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0),
B = (1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0),
L = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0),
R = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)
同理， G 在 W 上的作用 是 Z₂¹¹。
当以上编号混合在一起使用时，为了区分，分别用 c、e、v、w 作为 角块定位、棱块定位、角块定向、棱块定向 编号的前缀，并将编号写成下标。例如：
F = (c₁ c₆ c₇ c₂) (e₃ e₈ e₁₁ e₇) (v₁, v₂, v₀, v₀, v₀, v₂, v₁, v₀) (w₀, w₀, w₁, w₀, w₀, w₀, w₁, w₁, w₀, w₀, w₁, w₀)
辅助工具
在进行下一步分析之前，我们先编写一点 JavaScript 代码，以帮助我们，对 G 中的 操作进行复合。
魔方状态（state）的 格式为：
state：[[角块定位], [棱块定位], [角块定向], 棱块定向]
声明 魔方初始状态 s₀ 如下：
[[[角块轮换], ...], [[棱块轮换], ...], [角块旋转], [棱块旋转]]
基本操作声明如下：
定义 复合 函数：
为了输出简洁，当所有角块（或，棱块）不发生旋转 时，用一对空括号表示。
最后，我们对基本操作进行必要的扩展：
换位子 和 共轭
对于 任意两个 魔方操作 g,h ∈ G，如果，g 和 h 的复合 满足交换律，则：
gh = hg
等式两边右乘 g⁻¹h⁻¹，有：
ghg⁻¹h⁻¹ = hgg⁻¹h⁻¹ = h1h⁻¹ = hh⁻¹ = 1
如果 不满足交换律，则：
ghg⁻¹h⁻¹ ≠ 1
令，[g, h] = ghg⁻¹h⁻¹，称其为 换位子（commutator）。
一般来说，魔方相对面 ，如： F 和 B，U 和 D，L 和 R 之间是可以交换的，即，
[F, B] = [U, D] = [L, R] = 1
所有，换位子 之间是可以交换的，即：
[[g₁, h₁] [g₂, h₂]] = 1
关于，换位子有 性质1：如果 g 和 h 两种操作，只 共同影响 一个 小块 k，其中 g 为 n → k，h 为 m → k，则有 [g, h] = (k, n, m)，[h, g] = (k, m, n)。
例如，若 g = (c₁ c₂ c₃), h = (c₁, c₄ c₅)，则 k = c₁, n = c₂, m = c₄，于是有：
即，[g, h] = (c₁ c₂ c₄)，[h, g] = (c₁ c₄ c₂)。
性质1推论：如果 g 和 h 两种操作，共同影响 的小块，刚好 在 g 和 h 中 分别 形成 轮换 σ 和 τ，则有 [g, h] = [σ, τ]。
例如：若 g = (c₁ c₂ c₃ c₄)(c₅ c₆), h = (c₁ c₂ c₄ c₃)(c₇ c₈)，则 它们的共同影响小块 c₁、c₂、c₃、c₄，分别 在 g 和 h 中，组成轮转 (c₁ c₂ c₃ c₄) 和 (c₁ c₂ c₄ c₃)，于是有：
即，[g, h] = [(c₁ c₂ c₃ c₄), (c₁ c₂ c₄ c₃)]。
魔方群中还有另外一种 称为 共轭（conjugate）的复合方式：对于 任何操作 g,h ∈ G，称 ghg⁻¹ 为 h 关于 g 的共轭。
共轭具有 性质2：如果 h = (a b c) 而 g 将 A, B, C 分别映射到 a, b, c，则有 ghg⁻¹ = (A B C)。
例如：若 h = (c₁ c₂ c₃), g = (c₁ c₄)(c₂ c₅)(c₃ c₆)，则有：
即，ghg⁻¹ = (c₄ c₅ c₆)。
魔方公式
好了！现在利用上面的知识，就可以开始构造魔方公式了。
寻找角块的换位公式
我们发现 B⁻¹ 关于 R⁻¹ 的 共轭 R⁻¹B⁻¹(R⁻¹)⁻¹ = R⁻¹B⁻¹R：
和 F²：
仅有 c₇ 共同影响，于是它们满足 性质1，有：
即，[R⁻¹B⁻¹R, F²] = R⁻¹B⁻¹R F² (R⁻¹B⁻¹R)⁻¹ (F²)⁻¹ = R⁻¹B⁻¹R F² R⁻¹B⁻¹R F² = (c1, c7, c8)。
注意：因为 (ab)(b⁻¹a⁻¹) = abb⁻¹a⁻¹ = a1a⁻¹ = aa⁻¹ = 1，所以 (ab)⁻¹ = b⁻¹a⁻¹。
这里 c₁, c₇, c₈ 不共面，考虑 R² :
刚好 将 1 ↦ 1, 2 ↦ 8, 3 ↦ 7，于是根据 性质2，有：
开头的 RR RRR = R ，于是最终得到 公式C：
即，
R²[R⁻¹B⁻¹R, F²]R⁻² = RB⁻¹RF²R⁻¹BRF²R² = (c₁ c₂ c₃)
寻找棱块的换位公式
我们定义一种新的操作 M：面对 F 面，顺指针旋转 F 和 B 面之间那个中间的面M。M 操作 只改变棱块：
我们发现 M（或 M）与 U²：
共同影响 e₄，因此 根据性质1，[M⁻¹, U²] 构成三轮换：
即，[M⁻¹, U²] = M⁻¹U²MU² = (e₂ e₄ e₁₀)。
其实，M⁻¹ 就相当于 FB⁻¹ 的复合，只不过，在执行 M⁻¹ 后，还做了 R 面朝向了 U 的动作。
这时 执行 U² 相当于 执行 R²，于是翻译为 基本操作 [M⁻¹, U²] = FB⁻¹R²BF⁻¹U²，验证：
最后， 根据 性质2，利用 R²U 将 这个 三轮换，换到同一个面上：
倒数第2， 3 项合并后，就得到了 公式D：
R²U[M⁻¹, U²]U⁻¹R² = R²UFB⁻¹R²BF⁻¹UR² = (e₁ e₃ e₂)
寻找角块的旋转公式
观察 D² 关于 RF⁻¹ 的共轭 RF⁻¹D²FR⁻¹：
与 U²：
它们，有共同的轮转 (c₁ c₃)，于是根据 性质1推论，有：
[U², RF⁻¹D²FR⁻¹] = [(c₁ c₃), (c₁ c₃)] = (c₁ c₃)(c₁ c₃)(c₃, c₁)(c₃, c₁) = (c₁ c₃)1(c₃, c₁) = (c₁ c₃)(c₃, c₁) = 1
这样以来，[U², RF⁻¹D²FR⁻¹] 就没有了位置变换，仅仅剩下的就是旋转：
于是，我们就得到 公式 E：
[U², RF⁻¹D²FR⁻¹] = U²RF⁻¹D²FR⁻¹U²RF⁻¹D²FR⁻¹ = (v₁, v₀, v₂, v₀, v₀, v₀, v₀, v₀);
公式 E 分别 对 c₁ 和 c₃ 进行 逆时针 和 顺时针 旋转。
寻找棱块的旋转公式
M 和 U 分别执行4次会恢复，那么 MU 执行四次，即，(MU)⁴ 是什么呢？
我们神奇的发现：
(MU)⁴ = F⁻¹BLF⁻¹BDF⁻¹BRF⁻¹BU = (w₁, w₁, w₀, w₀, w₀, w₀, w₀, w₀, w₀, w₁, w₀, w₁)
即，(MU)⁴ 只对 e₁, e₂, e₁0, e₁₂ 旋转；
同样，(MU⁻¹)⁴ ：
(MU⁻¹)⁴ = F⁻¹BL⁻¹F⁻¹BD⁻¹F⁻¹BR⁻¹F⁻¹BU⁻¹ = (w₀, w₁, w₁, w₀, w₀, w₀, w₀, w₀, w₁, w₀, w₁)
即，(MU⁻¹)⁴ 只对 e₂, e3, e₁0, e₁₂ 旋转；
因为 棱块旋转 2 次就等于没有旋转，于是 (MU)⁴ 和 (MU⁻¹)⁴ 的复合 结果 只对 e₁ 和 e₃ 进行旋转，这就是 公式F：
(MU)⁴(MU⁻¹)⁴ = (w₁,w₀, w₁, w₀, w₀, w₀, w₀, w₀, w₀, w₀, w₀)
可以验证：
暴力搜索
两轮换 称为 对换，在魔方群中 单独的 对换操作，是不可能的 因此 三轮换，成立 公式构造的 关键，除了上面利用 性质1 来 找寻 三轮换 的 方法为，我们还可以用计算机，进行暴力搜索。例如：在 2 个 R，3 个 R⁻¹， 3 个 U, 2 个 U⁻¹ 的全排列中，进行三轮换搜索：
我们得到：
即，R⁻¹U⁻¹RURURU⁻¹R⁻¹U⁻¹ = (e₃ e₄ e₁₀)。然后 根据 性质2，利用 R² 将 这个 三轮换，换到同一个面上：
同样，将开头的 5 个 R 合并，就得到 和 公式D 类似的公式：
RU⁻¹RURURU⁻¹R⁻¹U⁻¹R² = (e₂ e₃ e₄)
对于旋转来说，以上的分析，最少只能的道 两个 角块（或 棱块）的旋转，我们无法做到 仅仅旋转 一个角块（或 棱块）。
上面，给定的公式都保证 角块（或 棱块）的旋转 时，所有小块位置不变，但 实际上，不一定需要这么严格，我们可以允许 与旋转小块同处一个面 内 小块的位置变换。通过暴力搜索，我们得到了公式B：
即，
RUR⁻¹URU²R⁻¹ = (c₁ c₃)(c₂ c₄)(e₁ e₂ e₄)(v₂, v₂, v₀, v₂, v₀, v₀, v₀, v₀);
以及，公式A：
即，
FRUR⁻¹U⁻¹F⁻¹ = (c₁ c₂)(c₃ c₄)(e₁ e₂ e₃)(v₀, v₂, v₁, v₀, v₀, v₀, v₀, v₀)(w₀, w₁, w₁, w₀, w₀, w₀, w₀, w₀, w₀, w₀, w₀, w₀);
公式 AB 都是 只 改变 顶层 位置的 操作。
其实，公式A就是 F[R, U]F⁻¹，其中 [R, U]：
[R, U] 的功效是 (e₁ e₂ e₇) ，即，将 顶层棱块 e₁ e₂ 和 中层 棱块 e₇ 轮换，但副作用 (c₂ c₇) 变动了 底层。不过幸运的是，我们找到了 [F⁻¹, U⁻¹]：
[ F⁻¹, U⁻¹] 的功效 和 [R, U] 类似，而其副作也是 (c₂ c₇)。因为 (c₂ c₇)(c₂ c₇) = 1，所以 [U⁻¹, F⁻¹] 的 刚好可以抵消 [R, U] 的副作用。于是，我们就得到了 公式A的附带公式：
[R, U] [ F⁻¹, U⁻¹] 和 [ F⁻¹, U⁻¹] [R, U]
功效分别是 (e₁ e₂ e₇ e₄ e₃) 和 (e₁ e₂ e₃ e₄ e₇)，即，将顶层的 四个棱块 与 中层 的 棱块 e₇ 轮转。
在魔方数学原理的指导下，通过这种计算机暴力搜索的方式，我们还可以找到很多有用的公式，目前紧紧OLL公式就有 57 个，而更多的复杂公式几百上千。
众所周知的 ”七步公式还原法“（层先法） 就包括了从这些公式中选出来的 一组基础公式（包括上面提到的 公式ABCD）。（七步公式还原法，已经有条友在回答中详细介绍过了，我这里就不累述了。）
不知不觉，已经写了 5千余字了。关于魔法群还有很多更深入的内容，例如：上帝数 等，由于篇幅有限，这里不能一一展开，以后有机会再说。
（小石头，数学水平有限，出错在所难免，希望各位老师和同学批评指正。）
（补充 2019/10/30）
我将辅助工具的代码放在这里，以便想要自己试验的条友复制粘贴。
运行环境：chrome 浏览器；
文件名：rc.html，包含代码：
文件名：rc2.html，包含代码：
