在《勾股定理》一章中，除了上一讲（【八年级下】数学 · 勾股定理 解题方法汇总(上)）中我们讲到的问题外，还有一些蚂蚁路径（小虫沿着立体图形表面吃食物，走最短路径）、几何最值等问题。本讲，我们就对这些遗留问题做个归纳！供大家学习参考。
在八年级上册的《13.4 课题学习 最短路径》我们只是定性地研究过此类问题，此处，我们借助勾股定理，定量研究破解这类问题。
Happy Halloween
一、凹凸面展开
例1：
如图是一个三级台阶，它每一级的长，宽，高分别为16、3和2，A和B是这个台阶的两个相对端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度是_______．
分析：
本题属于凸面展开问题，我们可以将台阶凸起的这些面展平，从俯视图的角度观察，利用两点之间线段最短来计算！
解答：
例2：
在一个长为8分米，宽为5分米，高为7分米的长方体上，截去一个长为6分米，宽为5分米，深为2分米的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶点A处，沿着几何体的表面到几何体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是多少分米？
分析：
本题属于凹面展开问题，将上表面展开，计算展开后的长方形的长时，要想清楚由几部分组成，未截去的两段宽，截去两段的深度和长度，都要相加．
解答：
二、立方体展开
例1：
如图是一个棱长为3 cm的正方体，把下底面和右侧的面均分成3×3个小正方形，其边长都为1 cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2 cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的点B，最少要用________秒．
分析：
本题作为经典的立方体展开，我们不难发现，蚂蚁最少要爬2个面，点A可以看作在前面，也可看作在底面，点B可以看作在右面，也可以看作在后面，因此，我们要进行分类讨论．
解答：
例2：
如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少?
分析：
本题不过是将正方体改成长方体，同样最少要爬2个面，点A可以看作在下面、右面、后面，点B可以看作在前面，也可以看作在上面，因此，我们要进行分类讨论．注意，展开上面和后面，与展开前面和下面，是一样的．
解答：
关于立方体表面最值，推荐观看下面的优质微课：
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三、圆柱展开
例1：
如图，圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行最短路程（π取3）是___cm．
分析：
本题不难，还是将圆柱的侧面展开，可以有两种方式，如沿着BC边剪开，将前半部分表面逆时针方向从前面向右侧展开，看到虚线，也可以将后半部分表面逆时针方向从后面向右侧展开，看到实线．值得注意的是，展开后的宽，应该是半个底面圆的周长．
解答：
例2：
如图是一座高18m，底面周长5m的圆柱形水塔，现要造一个螺旋形登梯，为了减小坡度，要求登梯环绕一周半到达塔顶，问登梯至少多长？
分析：
本题与上例类似，还是将圆柱的侧面展开，可以有两种方式，如沿着BE边剪开，将前半部分表面逆时针方向从前面向右侧展开，看到两条虚线，与原先的虚线DC，组成两条虚线DB"和AD"；也可以将后半部分表面逆时针方向从后面向右侧展开，看到一条实线CD"，与原先的实线BC，DA，组成两条实线BD"，DA．
解答：
四、其他几何最值
五、最值问题拓展
解答视频：
对于上面的（3），我们可以这样理解
解析：注意观察此函数解析式的特点，两个算术平分根的和，每一个被开方数又是两个数的平方和，这很容易想到勾股定理，勾股定理是数形结合的重要定理，我们可尝试构造直角三角形，将其边长赋予一定数值或代数式，这样就可以由勾股定理得到一些等量关系。
又12-x与x的和是定值，所以我们先构造线段AB，使AB=12,动点P为AB所在直线上的点，
而(12-x)2+9也就是(12-x)2+32，所以可以AP为直角边构造直角三角形，同理以PB为直角边也构造直角三角形，如下图。
由勾股定理即到得
就是CP+DP，要求直线一动点到两定点距离之和的最小值，这是将军饮马啊！
所以要求的最值就是C’D的长度，再次构造直角三角形如下图，由勾股定理求得结果为13。
老杨有话说
你少说两句吧~
由于勾股定理是数形结合的典型，我们在做题时会遇到各种问题，鉴于前面发的微课讲解深度还不够，亲爱的老杨联系了三位好友，整合了他们的优质资源，整理成本文。内容来源说明如下：模块一、二、三整合自好友张鼎文老师公众号“积余鼎尖数学教学”。模块四整合自好友何春华老师（《课时作业本》编者之一）的公众号“跟何老师玩数学”。模块五整合自好友乌日力格老师的公众号“格格老师的数学课堂”。
